Εύρεση διανύσματος

solon28 · #1

Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα $\vec{a}$ και $\vec{b}$ και η μεταξύ τους γωνία είναι π/6. Να βρείτε διάνυσμα $\vec{u}$ τέτοιο ώστε το $\vec{u}$ να είναι παράλληλο στο διάνυσμα $\vec{a}+\vec{b}$ και το $\vec{b}$ να είναι κάθετο στο διάνυσμα $\vec{a}+\vec{u}$

Γιώργος Απόκης · #2

solon28 έγραψε:Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα $\vec{a}$ και $\vec{b}$ και η μεταξύ τους γωνία είναι π/6. Να βρείτε διάνυσμα $\vec{u}$ τέτοιο ώστε το $\vec{u}$ να είναι παράλληλο στο διάνυσμα $\vec{a}+\vec{b}$ και το $\vec{b}$ να είναι κάθετο στο διάνυσμα $\vec{a}+\vec{u}$

Καλημέρα.

Ισχύει : $\displaystyle{\vec a\cdot \vec b =|\vec a||\vec b|\sigma \upsilon \nu\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Aφού το $\vec u$ είναι παράλληλο στο $\vec a+\vec b$ , υπάρχει $\lambda \in \mathbb R$ , τέτοιος ώστε : $\vec u=\lambda (\vec a+\vec b)\Rightarrow \vec u=\lambda \vec a+\lambda \vec b$ (1)

Έχουμε : $\displaystyle{\vec b \perp (\vec a+\vec u)\Leftrightarrow \vec b \cdot(\vec a+\vec u)=0\Leftrightarrow \vec a \cdot\vec b+\vec b\cdot \vec u=0\overset{(1)}\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}+\vec b\cdot (\lambda \vec a+\lambda \vec b)=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}+\lambda(\vec a \cdot \vec b)+\lambda\vec b^2=0\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\lambda+\lambda=0\Leftrightarrow \lambda=\frac{-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\Leftrightarrow \lambda=3-2\sqrt{3}}$ .

Mε αντικατάσταση στην (1), έχουμε : $\displaystyle{\vec u=(3-2\sqrt{3})(\vec a+\vec b)}$

Edit: Διόρθωσα το $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{\color{red}2}}$

solon28 · #3

Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση, αν και το συνπ/6 είναι $\frac{\sqrt{3}}{2}$ κι όχι $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Γιώργος Απόκης · #4

Έχεις δίκιο Σόλωνα! Διορθώνω...

#5

: 02-11-2012 Αναλυτική Γεωμετρία.jpg (21.67 KiB) Προβλήθηκε 1108 φορές

Έστω $\displaystyle \vec a = \left( {x_1 ,\;y_1 } \right),\;\;\vec b = \left( {x_2 ,\;y_2 } \right),\;\;x_1 ,\;x_2 ,\;y_1 ,\;y_2 \in \Re$

με $\displaystyle \left| {\vec a} \right| = \left| {\vec b} \right| = 1,\;\;\phi = \left( {\mathop {\vec a,\;\vec b}\limits^ \wedge } \right) = \frac{\pi }{6}$

Είναι $\displaystyle \vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right|\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Έστω $\displaystyle \vec u//\vec a + \vec b$ , οποτε υπάρχει $\displaystyle k \in \Re$ ώστε $\displaystyle \vec u = \left( {k\left( {x_1 + x_2 } \right),\;k\left( {y_1 + y_2 } \right)} \right)$

Τότε $\displaystyle \vec a + \vec u = \left( {x_1 + k\left( {x_1 + x_2 } \right),y_1 + \;k\left( {y_1 + y_2 } \right)} \right)$

Έστω $\displaystyle \vec b \bot \left( {\vec a + \vec u} \right) \Leftrightarrow \vec b \cdot \left( {\vec a + \vec u} \right) = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow x_1 \cdot x_2 + k\left( {x_1 + x_2 } \right) \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + \;k\left( {y_1 + y_2 } \right) \cdot y_2 = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} + k\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow k = - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 2}}$

edit: Άργησα... αλλά έκανα και σχήμα

solon28 · #6

Ευχαριστώ πολύ κ. Ρίζο και για τη λύση και για το σχήμα!!!

Εύρεση διανύσματος

Εύρεση διανύσματος

Re: Εύρεση διανύσματος

Re: Εύρεση διανύσματος

Re: Εύρεση διανύσματος

Re: Εύρεση διανύσματος

Re: Εύρεση διανύσματος

Μέλη σε σύνδεση