7η ΕMO 1990-1991 (Γ' Λυκείου)

parmenides51 · #1

1. Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}}$ που να ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(f(x))=x+1}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{Z}}$ .

2. 'Έστω $\displaystyle{O}$ το περίκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα μέσα των τόξων $\displaystyle{\displaystyle{ \overset{\frown }{B\Gamma}, \overset{\frown }{\Gamma A},\overset{\frown }{AB}}$ αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{I}$ είναι έγκεντρο του $\displaystyle{AB\Gamma}$ , να αποδειχτεί ότι: $\displaystyle{\overrightarrow{OIΙ}= \overrightarrow{OA_1}+ \overrightarrow{OB_1}+ \overrightarrow{O\Gamma_1}}$

3. Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με διαστάσεις $\displaystyle{4\, x\, 4}$ χρησιμοποιώντας $\displaystyle{4}$ άσπρα, $\displaystyle{4}$ πράσινα, $\displaystyle{4}$ κόκκινα και $\displaystyle{4}$ μπλέ τετράγωνα με διαστάσεις $\displaystyle{1\, x\, 1}$ έτσι ώστε σε κάθε οριζόντια και κάθε κάθετη γραμμή τα τετράγωνα να έχουν διαφορετικά χρώματα.

4. Αν διαιρέσουμε τον αριθμό: $\displaystyle{1^{1990}+2^{1990}+3^{1990}+...+1990^{1990}}$ δια του $\displaystyle{10}$ , ποιο υπόλοιπο θα πάρουμε;

Υ.Γ. ΕΜΟ=Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:2. 'Έστω $\displaystyle{O}$ το περίκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ και έστω $\displaystyle{A_1,B_1,\Gamma_1}$ τα μέσα των τόξων $\displaystyle{\displaystyle{ \overset{\frown }{B\Gamma}, \overset{\frown }{\Gamma A},\overset{\frown }{AB}}$ αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{I}$ είναι έγκεντρο του $\displaystyle{AB\Gamma}$ , να αποδειχτεί ότι: $\displaystyle{\overrightarrow{OIΙ}= \overrightarrow{OA_1}+ \overrightarrow{OB_1}+ \overrightarrow{O\Gamma_1}}$

Grigoris K. έγραψε:Εδώ!

#3

parmenides51 έγραψε:1. Να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}}$ που να ικανοποιεί την σχέση $\displaystyle{f(f(x))=x+1}$ , για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb{Z}}$ .

Είναι $\displaystyle{f(f(f(x)))=f(x+1)=f(x)+1}$ οπότε f(x)=x+c

(αριθμητική πρόοδος)

Αντικαθιστώντας, $\displaystyle{c=\frac{1}{2}}$ , άτοπο αφού $f(x)\in \Bbb{Z}.$

sokratis lyras · #4

parmenides51 έγραψε:

4. Αν διαιρέσουμε τον αριθμό: $\displaystyle{1^{1990}+2^{1990}+3^{1990}+...+1990^{1990}}$ δια του $\displaystyle{10}$ , ποιο υπόλοιπο θα πάρουμε;

Υ.Γ. ΕΜΟ=Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ευχαριστώ τον Γρηγόρη τον Γεωμέτρη για την διόρθωση στο 2ο.

Με κάποιες επιφυλάξεις:
Αρκεί να βρούμε το

με $\displaystyle 199\cdot \sum_{i=1}^{10}{i^{1990}\equiv k \mod 10}$
Με απλές πράξεις(αν τις έκανα σωστά) βρίσκουμε ότι το άθροισμα είναι ισουπόλοιπο με $5\mod 10$ .Άρα k=5

.

#5

parmenides51 έγραψε: 3. Κατά πόσους τρόπους μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο με διαστάσεις $\displaystyle{4\, x\, 4}$ χρησιμοποιώντας $\displaystyle{4}$ άσπρα, $\displaystyle{4}$ πράσινα, $\displaystyle{4}$ κόκκινα και $\displaystyle{4}$ μπλέ τετράγωνα με διαστάσεις $\displaystyle{1\, x\, 1}$ έτσι ώστε σε κάθε οριζόντια και κάθε κάθετη γραμμή τα τετράγωνα να έχουν διαφορετικά χρώματα.

Έχουμε

τρόπους να κατασκευάσουμε την πρώτη γραμμή. Μετά έχουμε 3! τρόπους να κατασκευάσουμε την πρώτη στήλη. Επειδή από οποιαδήποτε επιτρεπόμενη κατασκευή αν εναλλάξουμε δυο γραμμές ή δυο στήλες μεταξύ τους παίρνουμε άλλη επιτρεπόμενη κατασκευή μπορούμε να υποθέσουμε ότι μέχρι στιγμής η διάταξη μοιάζει ως εξής:

$\displaystyle{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & & & \\ 3 & & & \\ 4 & & & \end{matrix}}$

(α) Αν στο τετράγωνο της δεύτερης σειράς και δεύτερης στήλης βάλουμε το 1 τότε παρατηρούμε ότι η δεύτερη σειρά και δεύτερη στήλη πρέπει να συμπληρωθούν ως εξής:

$\displaystyle{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1& 4& 3\\ 3 & 4& & \\ 4 & 3& & \end{matrix}}$

Τώρα υπάρχουν ακριβώς δυο τρόποι να συμπληρωθεί η κατασκευή.

Είτε $\displaystyle{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1& 4& 3\\ 3 & 4& 1& 2\\ 4 & 3& 2& 1\end{matrix}}$ είτε $\displaystyle{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1& 4& 3\\ 3 & 4& 2&1 \\ 4 & 3& 1&2 \end{matrix}}$

(β) Αν στο τετράγωνο της δεύτερης σειράς και δεύτερης στήλης βάλουμε το 3 τότε παρατηρούμε ότι υπάρχει μοναδικός τρόπος να συμπληρωθεί η κατασκευή:

$\displaystyle{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3& 4&1 \\ 3 & 4& 1&2 \\ 4 & 1& 2& 3\end{matrix}}$

(γ) Αν στο τετράγωνο της δεύτερης σειράς και δεύτερης στήλης βάλουμε το 4 τότε παρατηρούμε ότι πάλι υπάρχει μοναδικός τρόπος να συμπληρωθεί η κατασκευή:

$\displaystyle{ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4& 1&3 \\ 3 & 1& 4&2 \\ 4 & 3& 2&1 \end{matrix}}$

Συνολικά δηλαδή υπάρχουν 4!3!(2+1+!) = 576

διαφορετικοί τρόποι.

------------------------------------
Η άσκηση ουσιαστικά ζητά τον αριθμό των $4\times 4$ λατινικών τετραγώνων. Εδώ μπορείτε να δείτε των αριθμό L_n

των $n \times n$ λατινικών τετραγώνων για $1 \leqslant n \leqslant 11$ . Δυστυχώς για n >11

δεν γνωρίζουμε την ακριβή απάντηση. Ακόμη και τα άνω/κάτω φράγματα που γνωρίζουμε μέχρι στιγμής δεν είναι ιδιαίτερα ικανοποιητικά. Ασυμπτωτικά γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{\frac{e^2\sqrt[n^2]{L_n^}}{n^2} \to 1. }$

7η ΕMO 1990-1991 (Γ' Λυκείου)

7η ΕMO 1990-1991 (Γ' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Γ' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Γ' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Γ' Λυκείου)

Re: 7η ΕMO 1990-1991 (Γ' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση