Ακέραιος!

#1

Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς

για τους οποίους ο αριθμός

$\displaystyle{\sqrt[3]{13+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{13-\sqrt{x}}}$

είναι ακέραιος.

stavros11 · #2

Έστω $\displaystyle{A=\sqrt[3]{13+\sqrt{x}}+\sqrt[3]{13-\sqrt{x}}}$

Αποδεικνύεται εύκολα ότι για κάθε $\displaystyle{a,b \geq 0}$ ισχύει $\displaystyle{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\geq \sqrt[3]{a+b}}$ .
Άρα:
$\displaystyle{A \geq \sqrt[3]{13+\sqrt{x}+13-\sqrt{x}}=\sqrt[3]{26}>2}$

Ακόμα η συνάρτηση $\displaystyle{\sqrt[3]{x}}$ είναι κοίλη στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ , άρα από την ανισότητα Jensen:
$\displaystyle{A \leq 2\sqrt[3]{\frac{1}{2}\left( 13+\sqrt{x}+13-\sqrt{x}\right)}=2\sqrt[3]{13}<5}$

Tελικά $\displaystyle{2<A<5}$ και αφού $\displaystyle{A \in \mathbb{Z}}$ , πρέπει $\displaystyle{A \in \left\{3,4 \right\}}$

Θέτω $\displaystyle{(a,b)=(13+\sqrt{x},13-\sqrt{x})}$ , οπότε είναι $\displaystyle{a+b=26}$ και $\displaystyle{ab=169-x}$ .
H εξίσωση $\displaystyle{A=k \in \left\{3,4 \right\}}$ γίνεται:
$\displaystyle{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=k\Rightarrow a+3\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})+b=k^3\Rightarrow 26+3k\sqrt[3]{169-x}=k^3\Rightarrow \sqrt[3]{169-x}=\frac{k^3-26}{3k}}$

Άρα για $\displaystyle{k=3}$ : $\displaystyle{\sqrt[3]{169-x}=\frac{1}{9}\Rightarrow x=169-\frac{1}{729}=\frac{123200}{729}}$

και για $\displaystyle{k=4}$ : $\displaystyle{\sqrt[3]{169-x}=\frac{19}{6}\Rightarrow x=169-\frac{6859}{216}=\frac{29645}{216}}$

#3

Αν η πηγή της άσκησης είναι από το εξωτερικό τότε υπάρχουν και άλλες λύσεις: Για κάθε πραγματικό

(είτε είναι θετικός είτε όχι) το σύμβολο $\sqrt[3]{x}$ εννοεί τον μοναδικό πραγματικό αριθμό

με

. Π.χ. $\sqrt[3]{-8} = -2$ κ.τ.λ.

Ακέραιος!

Ακέραιος!

Re: Ακέραιος!

Re: Ακέραιος!

Μέλη σε σύνδεση