Διανύσματα διχοτόμων

#1

Δίνεται τρίγωνο ABC

και οι διχοτόμοι του AA_1,BB_1,CC_1

.

Νδο τα διανύσματα $\vec{AA_1},\vec{BB_1},\vec{CC_1}$ σχηματίζουν τρίγωνο αν και μόνο αν το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο.

#2

Γειά σας
Θα χρησιμοποιήσω το θεώρημα διχοτόμων από το οποίο έχουμε τα μήκη όπως στο σχήμα:

: bis.png (17.34 KiB) Προβλήθηκε 1119 φορές

Είναι
$\overrightarrow{BA_{1}}=\frac{c}{b+c}\overrightarrow{BC}$
οπότε
$\overrightarrow{AA_{1}}=\left( 1-\frac{c}{b+c}\right) \overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}$
δηλαδή
$\overrightarrow{AA_{1}}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{AB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{AC}$
εργαζόμενοι ανάλογα και για τις άλλες διχοτόμους βρίσκουμε
$\overrightarrow{BB_{1}}=\frac{a}{a+c}\overrightarrow{BA}+\frac{c}{a+c}\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{a}{a+b}\overrightarrow{CA}+\frac{b}{a+b}\overrightarrow{CB}$
Εκφράζουμε όλα τα διανύσματα στα δεύτερα μέλη συναρτήσει των
$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ και έχουμε:
$\overrightarrow{BB_{1}}=-\overrightarrow{AB}+\frac{c}{a+c}\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{CC_{1}}=\frac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$
Τα διανύσματα των διχοτόμων θα ορίζουν τρίγωνο αν και μόνο αν
$\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{0}$
που ισοδυναμεί με τις σχέσεις
$\frac{a}{a+c}+\left( -1\right) +\frac{b}{a+b}=0$
$\frac{c}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\left( -1\right) =0$
που μα δίνουν τις
$a\frac{b-c}{\left( a+c\right) \left( a+b\right) }=0$
$\frac{c^{2}-ab}{\left( b+c\right) \left( a+c\right) }=0$
από τις οποίες έχουμε
a=b=c

Μαυρογιάννης

Διανύσματα διχοτόμων

Διανύσματα διχοτόμων

Re: Διανύσματα διχοτόμων

Μέλη σε σύνδεση