ΑΣΚΗΣΗ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ

ykerasar · #1

ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ ΑΦΙΕΡΩΜΑ
ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ
ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ

ΔΥΟ ΛΟΓΙΑ. Πέρασαν αρκετά χρόνια από τότε που ένας μεγάλος Γεωμέτρης, ο Γιάννης Ντάνης, έφυγε από κοντά μας. Βρισκόμασταν στο αμφιθέατρο της οδού Σίνα περιμένοντας να αρχίσει η συνέλευση της ΕΜΕ. Με τον Γιάννη συνεργαζόμασταν για χρόνια, διδάσκοντας Ευκλείδεια Γεωμετρία στο «ΑΤΤΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ», στο οποίο ήταν συνεταίρος. Ο Γιάννης, χειμαρρώδης όπως πάντα στο λόγο του, μου μίλαγε για την παιδευτική αξία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας˙ και ξαφνικά "έφυγε". Κείνη τη στιγμή, η Ευκλείδεια Γεωμετρία, έχανε έναν από τους γνησιότερους ερμηνευτές της που διέθετε η χώρα μας. Τιμώντας τη μνήμη του μεγάλου Γεωμέτρη, διάλεξα (να σας προτείνω) ένα θέμα από το δίτομο έργο του για τη Στερεομετρία. Η, από μέρους μου, επιλογή της Στερεομετρίας δεν είναι τυχαία. Συμβολικά αποτελεί πράξη διαμαρτυρίας για την "κατάντια" της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και ιδιαίτερα την εξαφάνιση της Στερεομετρίας. Συνάδελφοι, μιλάμε για το κατ’ εξοχή μάθημα άσκησης του νου. Πρέπει να αντισταθούμε !!!

Η ΑΣΚΗΣΗ. "Θεωρούμε την τριγωνική πυραμίδα $\displaystyle{{\rm A}.{\rm B}\Gamma \Delta }$ , με τη τρίεδρη γωνία $\displaystyle{{\rm A}}$ τρισορθογώνια. Πάνω στην έδρα $\displaystyle{{\rm B}\Gamma \Delta }$ θεωρούμε μεταβλητό σημείο $\displaystyle{{\rm P}}$ . Από το $\displaystyle{{\rm P}}$ θεωρούμετρία επίπεδα παράλληλα προς τις έδρες $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ , $\displaystyle{{\rm A}\Gamma \Delta }$ , $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm B}}$ . Να καθοριστεί η θέση του $\displaystyle{{\rm P}}$ , ώστε το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται να έχει μέγιστο όγκο"

[βοηθητική πρόταση: αν $\displaystyle{x_1 ,x_2 ,x_3 ,...,x_\nu}$ μεταβλητοί θετικοί αριθμοί και $\displaystyle{\alpha _1 ,\alpha _2 ,\alpha _3 ,...,\alpha_\nu}$ σταθεροί θετικοί αριθμοί, ώστε $\displaystyle{x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3+...+x_\nu\alpha_\nu=c}$ σταθερό, τότε το γινόμενο $\displaystyle{y=x_1 x_2 x_3 ...x_\nu}$ παίρνει τη μέγιστη τιμή για $\displaystyle{x_1\alpha _1= x_2\alpha _2=x_3\alpha _3= ... = x_\nu\alpha_\nu}$

Με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

#2

ykerasar έγραψε: Η ΑΣΚΗΣΗ. «Θεωρούμε την τριγωνική πυραμίδα Α.ΒΓΔ, με την τρίεδρη γωνία Α τρισορθογώνια. Πάνω στην έδρα ΒΓΔ θεωρούμε μεταβλητό σημείο Ρ. Από το Ρ θεωρούμε τρία επίπεδα παράλληλα προς τις έδρες ΑΒΓ, ΑΓΔ, ΑΔΒ. Να καθοριστεί η θέση του Ρ ώστε το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται να έχει μέγιστο όγκο»

Να 'σαι καλά Γιάννη που μας θύμησες ένα όνομα θρύλο.

Ως προς ορθογώνιο σύστημα αξόνων με αρχή την κορυφή

, οι άλλες κορυφές έχουν συντεταγμένες της μορφής $B(b,0,0), C(0,c,0), \, D(0,0,d)$ . Παρατηρούμε ότι το επίπεδο $\displaystyle{\frac {x}{b}+ \frac {y}{c}+\frac {z}{d}=1\, (*)}$ περιέχει τα B,C,D

(άμεσο), άρα είναι το επίπεδο BCD

δεδομένου ότι τρία σημεία του το καθορίζουν μοναδικά. Έπεται ότι οι συντεταγμένες του P(x,y,z)

ικανοποιούν την (*)

.
Ο όγκος λοιπόν που ζητάμε είναι V=xyz

υπό την συνθήκη (*)

. Άρα είναι μέγιστος αν $\displaystyle{\frac {x}{b}= \frac {y}{c}=\frac {z}{d}}$ και άρα $\displaystyle{\frac {x}{b}= \frac {y}{c}=\frac {z}{d}= \frac {1}{3}}$ . Συνεπώς το ζητούμενο σημείο

είναι το $\left ( \frac {b}{3}, \frac {c}{3}, \frac {d}{3}\right)$ . Πρόκειται για το κέντρο βάρους του BCD

$.

Φιλικά,

Μιχάλης

ykerasar · #3

Φίλε Μιχάλη καλημέρα,
ευχαριστώ για την εύστοχη απάνντησή σου. Είχα μια απάντηση αλλά μετά απ' αυτό περιτεύει η δημοσίευσή της.

με εκτίμηση
Γιάννης Κερασαρίδης

akis_man · #4

Τα βιβλία του Ντάνη της Στερεομετρίας τα έχω και τα δύο.
Απο εκεί πρωτομελέτησα τα Πλατωνικά Στερεά και τις τομές στερεών.
Οσο για την Ευκλείδεια Γεωμετρία , ο πόλεμος που την κάνουν την δυναμώνει περισσότερο.
Οι μέθοδοι της είναι διαχρονικές : ΑΝΑΛΥΣΗ , ΣΥΝΘΕΣΗ , ΑΠΟΔΕΙΞΗ , ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ.
Κάθε πρόβλημα και όχι μόνο Γεωμετρικό αυτές τις μεθόδους απαιτή για να μελετηθή.
Οσο για το περιθώριο που προσπαθούν να την θέσουν ; Η απάντηση έρχεται
απο το Διαδίκτυο και στην Ελλάδα και στον κόσμο ολόκληρο.
Πιστεύω οτι η Ευκλείδεια Γεωμετρία αποτελει δομικό στοιχείο του υγειούς τμήματος
του ανθρωπίνου εγκεφάλου.
Πυδναίος Φίλιππος

#5

akis_man έγραψε:...
Οσο για την Ευκλείδεια Γεωμετρία , ο πόλεμος που την κάνουν την δυναμώνει περισσότερο.
...

Φοβάμαι πως η γνώμη αυτή είναι ρομαντική, χωρίς να τεκμηριώνεται επιστημονικά ή εμπειρικά.

Στο Πανεπιστήμιο Κρήτης έχουμε (προαιρετικό) μάθημα Ευκλείδειας Γεωμετρίας το οποίο διδάσκω εκ περιτροπής.
Όποτε το διδάσκω, κλαίω.

Το ίδιο ακούω και από τους εραστές της Γεωμετρίας οι οποίοι προσπαθούν ηρωικά να την μεταλαμπαδεύσουν στους μαθητές μας στο Λύκειο.

Αυτοσαρκαζόμενος συχνά λέω ότι πρέπει να βάλουμε την Πλατωνική επιγραφή "Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω" έξω από το Τμήμα Μαθηματικών και από μέσα να βάλουμε μία δεύτερη που να λέει "Μηδείς αγεωμέτρητος εξελθέτω". Δυστυχώς, πολλοί είναι αυτοί που εξέρχονται του Πανεπιστημίου με πτυχίο Μαθηματικού, πλην όμως δεν γνωρίζουν ούτε ελάχιστη Γεωμετρία. Δράμα. Κλαίω.

Μ.

parmenides51 · #6

ευτυχώς είμαστε αρκετοί ρομαντικοί εδώ μέσα και δεν νιώθουμε τόσο άβολα

ΑΣΚΗΣΗ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ

ΑΣΚΗΣΗ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΓΙΑΝΝΗ ΝΤΑΝΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΓΙΑΝΝΗ Ν

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΓΙΑΝΝΗ Ν

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΓΙΑΝΝΗ Ν

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΓΙΑΝΝΗ Ν

Re: ΑΣΚΗΣΗ ΑΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΗ ΜΝΗΜΗ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΗ ΓΙΑΝΝΗ Ν

Μέλη σε σύνδεση