IMC 2004/1/3

#1

Έστω $n \geqslant 2$ ακέραιος και S_n

το σύνολο όλων των αθροισμάτων της μορφής $\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k}$ όπου $x_1,\ldots,x_n \in [0,\pi/2]$ και $\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sin(x_k) = 1.}$

(α) Να δειχθεί ότι το S_n

είναι διάστημα.
(β) Αν $\ell_n$ το μήκος του διαστήματος S_n

να υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \ell_n.}$

#2

Demetres έγραψε:Έστω $n \geqslant 2$ ακέραιος και το σύνολο όλων των αθροισμάτων της μορφής $\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k}$ όπου $x_1,\ldots,x_n \in [0,\pi/2]$ και $\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sin(x_k) = 1.}$

(α) Να δειχθεί ότι το είναι διάστημα.
(β) Αν $\ell_n$ το μήκος του διαστήματος να υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} \ell_n.}$

Μία απόπειρα για το πρώτο

Το σύνολο $\displaystyle{A=\{(a_1,a_2,...,a_n) \in [0,1]^n: a_1+a_2+...+a_n=1\}}$ είναι συμπαγές και συνεκτικό.

Η συνάρτηση $\displaystyle{f:[0,1]^n \to \Bbb{R}}$ με $\displaystyle{f\left((a_1,a_2,...,a_n)\right)=\sum_{i=1}^n Arcsina_i}$ είναι συνεχής και

$\displaystyle{f(A)}$ , είναι το ζητούμενο σύνολο. Άρα είναι διάστημα και μάλιστα κλειστό και φραγμένο.

#3

Για το δεύτερο ερώτημα:

Έστω ότι οι αριθμοί ${{x}_{k}}\in \left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ , $k=1,2,\ldots ,n$ , ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}{\sin \left( {{x}_{k}} \right)}=1}$ .

Εφόσον η συνάρτηση ημίτονο είναι κοίλη στο $\left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ , από την ανισότητα Jensen έχουμε ότι:

$\displaystyle{\sin \left( \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}} \right)\ge \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{\sin \left( {{x}_{k}} \right)}=\dfrac{1}{n}\Rightarrow \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}}\ge \arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)\Rightarrow}$

$\displaystyle{\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}}\ge n\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)}$ ,

με το ίσον να ισχύει αν και μόνο αν ${{x}_{k}}=\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)$ για κάθε $k\in \left\{ 1,2,\ldots ,n \right\}$ .

Επίσης, χρησιμοποιώντας τη γνωστή ανισότητα

$\sin x\ge \dfrac{2x}{\pi }$ , για κάθε $x\in \left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ ,

βρίσκουμε ότι:

$\displaystyle{\sum\limits_{k=1}^{n}{{{x}_{k}}}\le \dfrac{\pi }{2}\sum\limits_{k=1}^{n}{\sin \left( {{x}_{k}} \right)}=\dfrac{\pi }{2}}$ ,

με το ίσον να ισχύει, για παράδειγμα, αν ${{x}_{1}}=\dfrac{\pi }{2}$ και ${{x}_{k}}=0$ για κάθε $k\in \left\{ 2,3,\ldots ,n \right\}$ .

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ${{S}_{n}}=\left[ n\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right),\dfrac{\pi }{2} \right]$ για κάθε θετικό ακέραιο

.

Επομένως, είναι:

${{\ell }_{n}}=\dfrac{\pi }{2}-n\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)$ για κάθε θετικό ακέραιο

.

Εφόσον

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,n\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\arcsin \left( \dfrac{1}{n} \right)}{\dfrac{1}{n}}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\arcsin \left( x \right)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{{{\left( \arcsin \left( x \right) \right)}^{\prime }}}{{{\left( x \right)}^{\prime }}}=$

$=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sqrt{1-{{x}^{2}}}=1$ ,

θα είναι

$\boxed{\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\ell }_{n}}=\dfrac{\pi }{2}-1}$ .

IMC 2004/1/3

IMC 2004/1/3

Re: IMC 2004/1/3

Re: IMC 2004/1/3

Μέλη σε σύνδεση