Η ρίζα της ρίζας!

Γιώργος Απόκης · #1

Ο Γιώργος, παίζοντας με το κομπιουτεράκι, πάτησε

, μετά $\sqrt{.}$ και μετά πολλές φορές $\sqrt{.}$ ...

Έτσι, προέκυψαν οι διαδοχικοί αριθμοί :

2.23607,~1.49535,~1.22284,~1.10582,~1.05158,~1.02547,~1.01265,~1.00631,~1.00315,~1.00157,~1.00079,~1.00039,~1.0002,~1.0001,~1.00005

.

Να αποδείξετε ότι αυτή η διαδικασία (για οποιοδήποτε x>0

) θα έχει όριο ίσο με

.

(Γ' Λυκείου - Μέχρι 25/11/12)

Stavroulitsa · #2

Καλησπέρα σας! Θα δώσω μια συντομη απάντηση!

εαν έχουμε εναν οποιοδήποτε αριθμό x>0

και σε αυτον βαλουμε την τετραγωνική ρίζα έστω

φορές. Τότε αυτον τον αριθμό μπορούμε να τον γραψουμε $x^{\frac{1}{2n}}$ . Εαν λοιπόν ο Γιώργος πατάει συνέχεια το κουμπί της ρίζας, εμείς ουσιαστικα αρκεί να υπολογίσουμε το όριο όταν το

απειρίζεται. Δηλαδή
$\lim_{n\rightarrow +\infty}x^{\frac{1}{2n}}$
και $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{2n}=0$
άρα
$\lim_{n\rightarrow +\infty}x^{\frac{1}{2n}}=x^{0}=1$

Γιώργος Απόκης · #3

Stavroulitsa έγραψε:Καλησπέρα σας! Θα δώσω μια συντομη απάντηση!
εαν έχουμε εναν οποιοδήποτε αριθμό και σε αυτον βαλουμε την τετραγωνική ρίζα έστω φορές. Τότε αυτον τον αριθμό μπορούμε να τον γραψουμε $x^{\frac{1}{2n}}$ . Εαν λοιπόν ο Γιώργος πατάει συνέχεια το κουμπί της ρίζας, εμείς ουσιαστικα αρκεί να υπολογίσουμε το όριο όταν το απειρίζεται. Δηλαδή
$\lim_{n\rightarrow +\infty}x^{\frac{1}{2n}}$
και $\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{2n}=0$
άρα
$\lim_{n\rightarrow +\infty}x^{\frac{1}{2n}}=x^{0}=1$

Η ρίζα της ρίζας!

Η ρίζα της ρίζας!

Re:

Μέλη σε σύνδεση