IMC 2004/2/3

#1

Έστω

ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία $p_1,\ldots,p_n$ στο

. Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο

του

ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του

από τα

να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Nick1990 · #2

Έστω τυχαία διάμετρος

. Προβάλουμε τα σημεία πάνω σε αυτήν και έστω a_1, a_2, ... a_n

οι αποστάσεις του

από τις προβολές των

σημείων στη διάμετρο. Τότε b_1 = 2 - a_1, b_2 = 2 - a_2, ..., b_n = 2 - a_n

είναι οι αντίστοιχες αποστάσεις του

από τις ίδιες προβολές. Επειδή $\sum_{i=1}^{n}{a_i} + \sum_{i=1}^{n}{b_i} = 2n$ , ένα εκ των δύο αθροισμάτων είναι μεγαλύτερο η ίσο του

. Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι:
$\sum_{i=1}^{n}{a_i} \geq n$ , τότε επειδή οι οι προβολές πάνω στη διάμετρο έχουν μικρότερες αποστάσεις από τα άκρο της

από αυτές που έχουν τα αντίστοιχα σημεία, το ζητούμενο έπεται.

#3

Demetres έγραψε:Έστω ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία $p_1,\ldots,p_n$ στο . Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο του ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του από τα να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του .

Νίκο να ΄σαι πάντα καλά.

Ουσιαστικά η ίδια απόδειξη με του Νίκου, από όπου έκλεψα την ιδέα:

Αν $A, \, B$ αντιδιαμετρικά σημεία, τότε $AP_i+BPi \ge AB =2$ . Άρα $\displaystyle{ \left(\sum APi \right ) +\left (\sum BP_i \right) \ge 2n}$ , οπότε κάποιο από τα δύο αθροίσματα είναι $\displaystyle{\ge n}$ . Τελειώσαμε.

Για την λογοκλοπή,

Μιχάλης

Υ.Γ.
Ο λόγος που έγραψα την λύση είναι γιατί με μικρή ακόμα προσθήκη μπορούμε να βελτιώσουμε το πρόβλημα:

Έστω ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία $p_1,\ldots,p_n$ στο . Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο του ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του από τα να είναι ακριβώς ίσο με .

#4

Νομίζω ότι για τρίτο πρόβλημα η συγκεκριμένη άσκηση ήταν αρκετά εύκολη.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Έστω ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος στο επίπεδο και σημεία $p_1,\ldots,p_n$ στο . Να δειχθεί ότι υπάρχει σημείο του ώστε το άθροισμα των αποστάσεων του από τα να είναι ακριβώς ίσο με .

Για κάθε σημείο

του δίσκου θέτω $\displaystyle{f(x) = \sum_{i=1}^n d(x,p_i)}$ . Η

είναι συνεχής και ο δίσκος συνεκτικός επομένως και η εικόνα της

είναι συνεκτική. Έχει δειχθεί όμως ότι υπάρχει

με $f(p) \geqslant n$ . Επίπλέον αν

το κέντρο του δίσκου τότε $f(q) \leqslant n$ . Απαραίτητα λοιπόν η εικόνα της

θα περιέχει και το διάστημα [f(q),f(p)]

το οποίο περιέχει το

.

#5

Ωραιότατα.

Η λύση που είχα κατά νου είναι η εξής μικρή παραλλαγή: Αν $\sum APi = \sum BPi = n$ , τελειώσαμε. Έστω λοιπόν $\sum APi > n > \sum BPi$ . Για οποιοδήποτε σημείο

στην ημιπεριφέρεια

(την μία από τις δύο) ορίζουμε $f(X) = \sum XPi$ , η οποία βέβαια μεταβάλεται κατά συνεχή τρόπο με το

. Επειδή

, σε κάποιο ενδιάμεσο σημείο θα ισχύει η ισότητα.

Φιλικά,

Μιχάλης

IMC 2004/2/3

IMC 2004/2/3

Re: IMC 2004/2/3

Re: IMC 2004/2/3

Re: IMC 2004/2/3

Re: IMC 2004/2/3

Μέλη σε σύνδεση