Το όριο που δεν πρέπει να ξεπεράσουμε.

Νεφέλη · #1

Θα γράψω μια μικρή περιπέτειά μου με δύο όρια, όπως ακριβώς την έζησα την τελευταία εβδομάδα. Το ένα όριο είναι όμορφο, ακριβώς επειδή δεν υπάρχει, ενώ το δεύτερο με εκνευρίζει αφάνταστα και δεν είναι άλλο από το όριο του τι πρέπει να διδάξουμε και τι όχι σε μία σχολική αίθουσα.

Το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου, σελ. 173, αναφέρει ότι "αν θέλουμε να υπολογίσουμε το $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))$ της σύνθετης συνάρτησης $f\circ g$ στο σημείο x_0

, τότε εργαζόμαστε ως εξής:
1) Θέτουμε u=g(x)

.
2) Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το $u_0=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)$ και
3) υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το $l=\displaystyle\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)$ .

Αποδεικνύεται ότι, αν $g(x)\not=u_0$ κοντά στο x_0

, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με

, δηλαδή ισχύει $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)$ ."

Και από κάτω με μεγάλα γράμματα αναφέρει:

"ΠΡΟΣΟΧΗ
Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))$ με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: " $g(x)\not=u_0$ κοντά στο x_0

" και γιαυτό δεν θα ελέγχεται."

Είμαι διορισμένος τρίτο χρόνο τώρα σε δημόσιο σχολείο και φέτος ανέλαβα πρώτη φορά κατεύθυνση τρίτης λυκείου, οπότε όταν το διάβασα άρχισα να σκέφτομαι πώς απαντούν σε ερωτήσεις του τύπου "πώς αποδεικνύεται αυτό;" και "γιατί πρέπει $g(x)\not=u_0$ κοντά στο x_0

;". Για το πρώτο ερώτημα γρήγορα σκέφτηκα την "αφοπλιστική" απάντηση ότι "η απόδειξη χρειάζεται τον ορισμό του ορίου της σελίδας 161 (με τα $\varepsilon$ και $\delta$ , η οποία είναι εκτός ύλης", οπότε δεδομένου ότι οι μαθητές τρέμουν αυτόν τον ορισμό θα σταματούσε εκεί και για το δεύτερο σκέφτηκα να απαντήσω ότι "τέτοιες συναρτήσεις με αυτήν την ιδιότητα δεν θα συναντήσουμε γιατί είναι πολύ περίπλοκες και θα τις μάθεις ίσως στο Πανεπιστήμιο". Όμως ταυτόχρονα ήθελα να δω αν μπορώ να βρω για εμένα ένα παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης και ομολογώ εξεπλάγην όταν είδα πόσο απλό μπορεί να είναι. Το παράδειγμα που σκέφτηκα εκείνη την στιγμή ήταν να πάρω την συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\sin\frac{1}{x}, &x\not=0\\ 1, &x=0 \end{array}\right.$ και να ερευνήσουμε αν υπάρχει το όριο $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(f(x))$ . Αυτό που με εντυπωσίασε είναι ότι στην σελίδα 170, δηλαδή αν γυρίσεις μόνο ένα φύλλο πίσω, γίνεται ο υπολογισμός του ορίου ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}}(x\sin\frac{1}{x})=0$ , ενώ συναρτήσεις με δίκλαδο τύπο υποτίθεται ότι πρέπει να είναι από νωρίτερα σε θέση να τους δουλεύουν με σχετική άνεση. Με λίγα λόγια ό,τι χρειάζεται για να κατασκευαστεί μία τέτοια συνάρτηση. Εδώ να πω ότι λίγο αργότερα βρήκα το μάλλον πιο απλό παράδειγμα του με $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, &x\not=0\\ 2, &x=0 \end{array}\right.$ και $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\sin\frac{1}{x}, &x\not=0\\ 1, &x=0. \end{array}\right.$

Την επόμενη ημέρα συζήτησα το θέμα με κάποιους συναδέλφους στο σχολείο - κανείς δεν είχε σκεφτεί τι συμβαίνει σε αυτές τις περιπτώσεις - και με διαβεβαίωσαν ότι δεν υπάρχει περίπτωση να ερωτηθώ για κάτι τέτοιο. Πράγματι κανείς μαθητής δεν ρώτησε και το θέμα θα το είχα αφήσει εκεί, αν λίγες ημέρες αργότερα, σπίτι μου, ανοίγοντας το δικό μου σχολικό βιβλίο (που είναι ίδιο και απαράλαχτο, αφού έδωσα το 2001) παρατήρησα ότι σε εκείνη την σελίδα υπήρχε μία παραφωνία: είχα κυκλώσει με στυλό το "αν $g(x)\not=u_0$ " και είχα γράψει από κάτω "γιατί;". Εντάξει, είναι αλήθεια ότι από τότε είχα διάφορες μαθηματικές ανησυχίες, όμως σίγουρα αν ήταν δική μου απορία θα μπορούσε να είναι και άλλων μαθητών. Με αυτήν την σκέψη ομολογώ εκνευρίστηκα, για τον ρόλο που -αναγκαστικά- κι εγώ ο ίδιος παίζω μέσα στο σχολέιο.

Βέβαια εκεί αρχίζουν οι αντιθέσεις. Όταν, κύριε, ισχυρίζεσαι ότι η ύλη της κατεύθυνσης πρέπει να μειωθεί στο μισό, όταν λες πώς δεν έχει κανένα νόημα τα παιδιά να διδάσκονται και να εξετάζονται στον υπολογισμό παραγώγων και ολοκληρωμάτων, τότε πώς λες ότι θα ήθελες να τους κάνεις και κάτι παραπάνω; Δεν νομίζω όμως ότι τελικά είναι τόσο αντιφατικά αυτά τα δύο. Η ουσιά είναι τα παιδιά να μην αναλώνονται σε ασκήσεις που λύνουν τυπωποιημένα και μηχανιστικά αλλά να μπορούν να αντιληφθούν σε όσο γίνεται μεγαλύτερο βάθος τις έννοιες. Επιπλέον, το μόνο που μου έδινε χαρά από παιδί στα μαθηματικά είναι η ερώτηση "τι θα γινόταν αν ... ;". Νιώθω, λοιπόν, ότι αυτό που μου έδινε εμένα κίνητρο, είναι αυτό που τελικά στερούμε -κι εγώ μέσα- από τους μαθητές μας.

Επίσης με προβληματίζει το γεγονός ότι ενώ θεωρώ πως αυτή τη στιγμή το μάθημα το οποίο προσφέρω είναι ελλιπές για τα δικά μου πρότυπα αλλά και σε σύγκριση με άλλους συναδέλφους, κυρίως λόγω απειρίας και έλλειψης υλικού, ωστόσο αυτοί οι συνάδελφοι τους οποίους θεωρώ καλύτερους από εμένα στην διδασκαλία, δεν είχαν καν αναρρωτηθεί για το θέμα, ενώ σε κάποιες περιπτώσεις έπρεπε να δώσω αναλυτικές εξηγήσεις ώστε να τους πείσω. Μήπως τελικά αυτού του τύπου η εκπαίδευση δεν αποκοιμίζει μόνον τα παιδιά αλλά και εμάς τους ίδιους; (Τρόμος: Έτσι θα είμαι κι εγώ σε 10 χρόνια;).

#2

Θα συμφωνήσω με τον συνάδελφο, ότι με τον τρόπο που παρουσιάζονται τα μαθηματικά στα σχολεία δημιουργείται αρκετές φορές σύγχιση και σε εμάς τους εκπαιδευτικούς. Έχω και εγώ παρόμοια παραδείγματα να αναφέρω, πάνω σε θέματα που δεν μπορούμε να βγάλουμε άκρη σε μεταξύ μας συζητήσεις.
Όσο για την "αποκοίμηση" ημών που εργαζόμαστε στην δημόσια εκπαίδευση, είναι δεδομένη. Για παράδειγμα, η υποβάθμιση της Ευκλείδειας γεωμετρίας έχει και σε εμάς δημιουργήσει πρόβλημα.
Αντίδοτο σε αυτήν την αποκοίμηση, είναι μόνο΄ η συνεχής ενασχόλησή μας και η συμμετοχή μας σε διάλογο με άλλους συναδέλφους, όπου σίγουρα κάτι θετικό θα προκύψει.
Το mathematica, σίγουρα συμβάλλει ακριβώς σε αυτό: Να μην "αποκοιμηθούμε" .

ΚΑΛΟ ΒΡΑΔΥ

Ιωάννου Δημήτρης

ΑΛΕΞΙΟΥ ΙΩΑΝΝΗΣ · #3

Νεφέλη έγραψε:Θα γράψω μια μικρή περιπέτειά μου με δύο όρια, όπως ακριβώς την έζησα την τελευταία εβδομάδα. Το ένα όριο είναι όμορφο, ακριβώς επειδή δεν υπάρχει, ενώ το δεύτερο με εκνευρίζει αφάνταστα και δεν είναι άλλο από το όριο του τι πρέπει να διδάξουμε και τι όχι σε μία σχολική αίθουσα.

Το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου, σελ. 173, αναφέρει ότι "αν θέλουμε να υπολογίσουμε το $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))$ της σύνθετης συνάρτησης $f\circ g$ στο σημείο , τότε εργαζόμαστε ως εξής:
1) Θέτουμε .
2) Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το $u_0=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)$ και
3) υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το $l=\displaystyle\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)$ .

Αποδεικνύεται ότι, αν $g(x)\not=u_0$ κοντά στο , τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με , δηλαδή ισχύει $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)$ ."

Και από κάτω με μεγάλα γράμματα αναφέρει:

"ΠΡΟΣΟΧΗ
Στη συνέχεια και σε όλη την έκταση του βιβλίου τα όρια της μορφής $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))$ με τα οποία θα ασχοληθούμε θα είναι τέτοια, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη: " $g(x)\not=u_0$ κοντά στο " και γιαυτό δεν θα ελέγχεται."

Είμαι διορισμένος τρίτο χρόνο τώρα σε δημόσιο σχολείο και φέτος ανέλαβα πρώτη φορά κατεύθυνση τρίτης λυκείου, οπότε όταν το διάβασα άρχισα να σκέφτομαι πώς απαντούν σε ερωτήσεις του τύπου "πώς αποδεικνύεται αυτό;" και "γιατί πρέπει $g(x)\not=u_0$ κοντά στο ;". Για το πρώτο ερώτημα γρήγορα σκέφτηκα την "αφοπλιστική" απάντηση ότι "η απόδειξη χρειάζεται τον ορισμό του ορίου της σελίδας 161 (με τα $\varepsilon$ και $\delta$ , η οποία είναι εκτός ύλης", οπότε δεδομένου ότι οι μαθητές τρέμουν αυτόν τον ορισμό θα σταματούσε εκεί και για το δεύτερο σκέφτηκα να απαντήσω ότι "τέτοιες συναρτήσεις με αυτήν την ιδιότητα δεν θα συναντήσουμε γιατί είναι πολύ περίπλοκες και θα τις μάθεις ίσως στο Πανεπιστήμιο". Όμως ταυτόχρονα ήθελα να δω αν μπορώ να βρω για εμένα ένα παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης και ομολογώ εξεπλάγην όταν είδα πόσο απλό μπορεί να είναι. Το παράδειγμα που σκέφτηκα εκείνη την στιγμή ήταν να πάρω την συνάρτηση $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\sin\frac{1}{x}, &x\not=0\\ 1, &x=0 \end{array}\right.$ και να ερευνήσουμε αν υπάρχει το όριο $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(f(x))$ . Αυτό που με εντυπωσίασε είναι ότι στην σελίδα 170, δηλαδή αν γυρίσεις μόνο ένα φύλλο πίσω, γίνεται ο υπολογισμός του ορίου ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}}(x\sin\frac{1}{x})=0$ , ενώ συναρτήσεις με δίκλαδο τύπο υποτίθεται ότι πρέπει να είναι από νωρίτερα σε θέση να τους δουλεύουν με σχετική άνεση. Με λίγα λόγια ό,τι χρειάζεται για να κατασκευαστεί μία τέτοια συνάρτηση. Εδώ να πω ότι λίγο αργότερα βρήκα το μάλλον πιο απλό παράδειγμα του με $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, &x\not=0\\ 2, &x=0 \end{array}\right.$ και $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\sin\frac{1}{x}, &x\not=0\\ 1, &x=0. \end{array}\right.$

Την επόμενη ημέρα συζήτησα το θέμα με κάποιους συναδέλφους στο σχολείο - κανείς δεν είχε σκεφτεί τι συμβαίνει σε αυτές τις περιπτώσεις - και με διαβεβαίωσαν ότι δεν υπάρχει περίπτωση να ερωτηθώ για κάτι τέτοιο. Πράγματι κανείς μαθητής δεν ρώτησε και το θέμα θα το είχα αφήσει εκεί, αν λίγες ημέρες αργότερα, σπίτι μου, ανοίγοντας το δικό μου σχολικό βιβλίο (που είναι ίδιο και απαράλαχτο, αφού έδωσα το 2001) παρατήρησα ότι σε εκείνη την σελίδα υπήρχε μία παραφωνία: είχα κυκλώσει με στυλό το "αν $g(x)\not=u_0$ " και είχα γράψει από κάτω "γιατί;". Εντάξει, είναι αλήθεια ότι από τότε είχα διάφορες μαθηματικές ανησυχίες, όμως σίγουρα αν ήταν δική μου απορία θα μπορούσε να είναι και άλλων μαθητών. Με αυτήν την σκέψη ομολογώ εκνευρίστηκα, για τον ρόλο που -αναγκαστικά- κι εγώ ο ίδιος παίζω μέσα στο σχολέιο.

Βέβαια εκεί αρχίζουν οι αντιθέσεις. Όταν, κύριε, ισχυρίζεσαι ότι η ύλη της κατεύθυνσης πρέπει να μειωθεί στο μισό, όταν λες πώς δεν έχει κανένα νόημα τα παιδιά να διδάσκονται και να εξετάζονται στον υπολογισμό παραγώγων και ολοκληρωμάτων, τότε πώς λες ότι θα ήθελες να τους κάνεις και κάτι παραπάνω; Δεν νομίζω όμως ότι τελικά είναι τόσο αντιφατικά αυτά τα δύο. Η ουσιά είναι τα παιδιά να μην αναλώνονται σε ασκήσεις που λύνουν τυπωποιημένα και μηχανιστικά αλλά να μπορούν να αντιληφθούν σε όσο γίνεται μεγαλύτερο βάθος τις έννοιες. Επιπλέον, το μόνο που μου έδινε χαρά από παιδί στα μαθηματικά είναι η ερώτηση "τι θα γινόταν αν ... ;". Νιώθω, λοιπόν, ότι αυτό που μου έδινε εμένα κίνητρο, είναι αυτό που τελικά στερούμε -κι εγώ μέσα- από τους μαθητές μας.

Επίσης με προβληματίζει το γεγονός ότι ενώ θεωρώ πως αυτή τη στιγμή το μάθημα το οποίο προσφέρω είναι ελλιπές για τα δικά μου πρότυπα αλλά και σε σύγκριση με άλλους συναδέλφους, κυρίως λόγω απειρίας και έλλειψης υλικού, ωστόσο αυτοί οι συνάδελφοι τους οποίους θεωρώ καλύτερους από εμένα στην διδασκαλία, δεν είχαν καν αναρρωτηθεί για το θέμα, ενώ σε κάποιες περιπτώσεις έπρεπε να δώσω αναλυτικές εξηγήσεις ώστε να τους πείσω. Μήπως τελικά αυτού του τύπου η εκπαίδευση δεν αποκοιμίζει μόνον τα παιδιά αλλά και εμάς τους ίδιους; (Τρόμος: Έτσι θα είμαι κι εγώ σε 10 χρόνια;).

Καλησπέρα,

οι οδηγίες του Π.Ι έχουν ένα παράδειγμα απλό...
http://digitalschool.minedu.gov.gr/modu ... th_lyk.pdf

Νεφέλη · #4

Ευχαριστώ πολύ για την επισύμανση. Δεν είχα παρατηρήσει αυτήν την οδηγία και, αν το είχα κάνει, τότε μάλλον θα το είχα πει το παράδειγμα και στην τάξη. Είναι πράγματι πολύ πιο απλό.

dement · #5

Νεφέλη έγραψε: Το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Κατεύθυνσης της Γ' Λυκείου, σελ. 173, αναφέρει ότι "αν θέλουμε να υπολογίσουμε το $\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))$ της σύνθετης συνάρτησης $f\circ g$ στο σημείο , τότε εργαζόμαστε ως εξής:
1) Θέτουμε .
2) Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το $u_0=\displaystyle\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)$ και
3) υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το $l=\displaystyle\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)$ .

Να προσθέσω ότι τα "γιατί" μπορούν να αρχίσουν ήδη από το βήμα 2 ("γιατί να πρέπει να υπάρχει το u_0

;").

Ας πάρουμε, φερ'ειπείν, f(x) = x^2

και $\displaystyle{g(x) = \frac{x}{|x|}}$ για $x \neq 0$ και g(0) = 0

(η συνάρτηση-πρόσημο).

Τότε $\displaystyle{\lim_{x \to 0} f(g(x)) = 1}$ αλλά δεν υπάρχει το $\displaystyle{\lim_{x \to 0} g(x)}$ .

Το όριο που δεν πρέπει να ξεπεράσουμε.

Το όριο που δεν πρέπει να ξεπεράσουμε.

Re: Το όριο που δεν πρέπει να ξεπεράσουμε.

Re: Το όριο που δεν πρέπει να ξεπεράσουμε.

Re: Το όριο που δεν πρέπει να ξεπεράσουμε.

Re: Το όριο που δεν πρέπει να ξεπεράσουμε.

Μέλη σε σύνδεση