Σύγκριση

#1

Να συγκριθούν οι αριθμοί:

$\displaystyle{A=\frac{1}{502}+\frac{1}{503}+ . . . +\frac{1}{1003}}$ και

$\displaystyle{B=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ . . . -\frac{1}{2006}}$

#2

Ενδιαφέρον, διότι, όπως με πληροφορεί ο κύριος Wolfram, είναι

$\displaystyle{A\simeq 0,6936454365}$ ,

ενώ

$\displaystyle{B\simeq 0,69289799}$ .

Δηλαδή η διαφορά των $\displaystyle{A,B}$ γίνεται αισθητή στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο.

Ας αποδείξουμε λοιπόν ότι $\displaystyle{\boxed{A>B}.}$

Καταρχάς, ας θυμηθούμε την ταυτότητα του Eugène Charles Catalan:

$\displaystyle{\color{red}\boxed{\bf{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}}}}$

Η απόδειξή της είναι απλούστατη:

Είναι

$\displaystyle{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2n} \right)-2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n}\right)=}$

$\displaystyle{=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2n} \right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right) =\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}}$

$\displaystyle{\rule{500pt}{2pt}}$

Ας έρθουμε στο ψητό:

Από την ταυτότητα του Catalan είναι

$\displaystyle{B=\frac{1}{1004}+\frac{1}{1005}+\cdots \frac{1}{2006}.}$

Επίσης έχουμε

$\displaystyle{A=\frac{1}{502}+\frac{1}{503}+\frac{1}{504}+\cdots +\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}=\frac{2}{1004}+\frac{2}{1006}+\frac{2}{1008}+\cdots +\frac{2}{2004}+\frac{2}{2006}=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{1004}+\frac{1}{1004}+\frac{1}{1006}+\frac{1}{1006}+\frac{1}{1008}+\frac{1}{1008}+\cdots +\frac{1}{2004}+\frac{1}{2004}+\frac{1}{2006}+\frac{1}{2006}>}$

$\displaystyle{>\frac{1}{1004}+\frac{1}{1005}+\frac{1}{1006}+\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+\frac{1}{1009}+\cdots +\frac{1}{2004}+\frac{1}{2005}+\frac{1}{2006}=B}$

#3

Θάνο, έπιασες ακριβώς τον σφιγμό της άσκησης.

Σύγκριση

Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Μέλη σε σύνδεση