Μονοτονία Συνάρτησης

Sifis · #1

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $f(x)=ln(1+x^2)-e^{-x}+1$ είναι γνησίως αύξουσα.

ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ · #2

viewtopic.php?f=53&t=20612&p=103701#p103701

hsiodos · #3

Μια λύση

$\displaystyle{ f(x) = \ln (1 + x^2 ) - e^{ - x} + 1}$

H $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{R}$ με $\displaystyle{f{'} (x) = \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} + e^{ - x} \,}$

Αν $\displaystyle{x \ge 0}$ προφανώς $\displaystyle{f{'} (x) > 0\,}$

Αν $\displaystyle{x < 0\,\,}$ τότε

$\displaystyle{ - x > 0 \Rightarrow e^{ - x} > 1\,\,\,(*)}$ και

$\displaystyle{ (x + 1)^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 + 1 \ge - 2x \Rightarrow - \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} \le 1 \Rightarrow - 1 \le \frac{{2x}}{{x^2 + 1}} < 0\,\,\,(**)}$

$\displaystyle{ (*) \wedge (**) \Rightarrow f{'} (x) > 0\,\,\,\forall x < 0}$

Άρα $\displaystyle{ f{'} (x) > 0\,\,\,\forall x \in R}$ και η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Γιώργος

Βλέπω τώρα ότι έχει ξανασυζητηθεί αλλά το αφήνω.

#4

Δεν λες που έχεις φθάσει στην ύλη, υποθέτω ότι έχεις τελειώσει μονοτονία ακρότατα με παραγώγους.
πάρε την παράγωγο της f ,θεώρησε τον αριθμητή νέα συνάρτηση και βρες το ελάχιστό του.

τώρα είδα την απάντηση του Γιώργου. το αφήνω να το προσπαθήσεις σαν δεύτερο τρόπο,
ΚΑΛΑ Ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ ξεπέρασε τον parm

parmenides51 · #5

xr.tsif έγραψε: ΚΑΛΑ Ο ΔΗΜΗΤΡΗΣ ξεπέρασε τον parm

Μονοτονία Συνάρτησης

Μονοτονία Συνάρτησης

Re: Μονοτονία Συνάρτησης

Re: Μονοτονία Συνάρτησης

Re: Μονοτονία Συνάρτησης

Re: Μονοτονία Συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση