ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί

ώστε ο αριθμός -5^4+5^5+5^n

να είναι τέλειο τετράγωνο. Το ίδιο για τον 2^4+2^7+2^n

.

2. Έστω τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB=A\Gamma}$ και $\displaystyle{\Delta}$ σημείο της $\displaystyle{B\Gamma}$ τέτοιο ώστε ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου $\displaystyle{AB\Delta}$
και ο παρεγγεγραμμένος κύκλος που αντιστοιχεί στη γωνία $\displaystyle{\widehat{A}}$ του τριγώνου $\displaystyle{A\Delta\Gamma}$ να έχουν την ίδια ακτίνα.
Να αποδείξετε ότι αυτή η ακτίνα ισούται με το ένα τέταρτο του ύψους από την κορυφή $\displaystyle{B}$ του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ .*

3. Αν a,b,c,d,e

πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε η εξίσωση $ax^2+(c{\color{red} -}b)x+(e{\color{red} -}d)=0$ έχει πραγματικές ρίζες μεγαλύτερες του

,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

4. Έστω l_1,l_2,...,l_k

δοσμένες ευθείες στο επίπεδο, ανά δύο μη παράλληλες και ανά τρεις μη συντρέχουσες.
Για ποια $\displaystyle{k}$ μπορεί κάποιος να "βαφτίσει" με 1,2,...,k-1

τα σημεία τομής όλων των ευθειών
έτσι ώστε σε κάθε ευθεία όλες οι ταμπέλες από $\displaystyle{1}$ έως $\displaystyle{k-1}$ να εμφανίζονται ακριβώς μία φορά;

* Μεταφρασμένο από εδώ

edit
Αλλαγή δυο προσήμων στο 3ο θέμα

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν όλοι οι φυσικοί αριθμοί ώστε ο αριθμός να είναι τέλειο τετράγωνο. Το ίδιο για τον .

εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Έστω δοσμένες ευθείες στο επίπεδο, ανά δύο μη παράλληλες και ανά τρεις μη συντρέχουσες.
Για ποια $\displaystyle{k}$ μπορεί κάποιος να "βαφτίσει" με τα σημεία τομής όλων των ευθειών
έτσι ώστε σε κάθε ευθεία όλες οι ταμπέλες από $\displaystyle{1}$ έως $\displaystyle{k-1}$ να εμφανίζονται ακριβώς μία φορά;

εδώ

#3

parmenides51 έγραψε: 3. Αν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες μεγαλύτερες του ,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Πρέπει $a \neq 0$ αφού αλλιώς το ax^2 + (b+c)x + (d+e)

θα έχει μονο μία ρίζα (*). Επίσης μπορούμε να υποθέσουμε ότι a > 0

. (Αν όχι τότε η -ax^2 - (b+c)x - (d+e) = 0

έχει πραγματικές ρίζες μεγαλύτερες του

και επειδή -a>0

η εξίσωση -ax^4-bx^3-cx^2-dx-e=0

έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα άρα το ίδιο ισχύει και για την ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

.)

Έστω s > 1

τέτοιο ώστε as^2 + (b+c)s + (d+e) = 0

. Αν

τότε $p(\sqrt{s}) = (\sqrt{s}-1)(bs+d)$ . Αν bs+d = 0

τότε τελειώσαμε. Επίσης, αν bs+d < 0

πάλι τελειώσαμε από Bolzano αφού p(x) > 0

για

αρκετά μεγάλο. Μπορούμε λοιπόν να υποθέσουμε ότι bs+d > 0

. Αλλά τότε $p(-\sqrt{s}) = -(\sqrt{s}+1)(bs+d) < 0$ οπότε πάλι τελειώσαμε από Bolzano.

----------------
(*) Αυτό δεν είναι σωστό. Οφείλουμε να εξετάσουμε και την περίπτωση a=b+c=d+e=0

αφού και τότε η εξίσωση θα έχει πραγματικές ρίζες μεγαλύτερες του

. (Δεν είμαι σίγουρος όμως αν το επιζητούσε ο θεματοθέτης.) Σε αυτήν την περίπτωηση η x=1

είναι πραγματική ρίζα της εξίσωσης ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:3. Αν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες μεγαλύτερες του ,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Υπάρχει μια εκκρεμότητα με το θέμα 3 και τα πρόσημα της πρώτης εξίσωσης.
Στην παραπομπή εδώ όπως ορθά μου επισήμανε ο Παυλος (Μαραγκουδάκης) την έχει ως $ax^2+(c{\color{red} -}b)x+(e{\color{red} -}d)=0$ .
Την εκφώνηση την αντέγραψα με αντιγραφή επικόλληση από εδώ γιατί νόμιζα πως ήταν η ίδια άσκηση.
Επειδή αμφιβάλλω για τα πρόσημα, ας ελέγξει όποιος έχει την δυνατότητα ποια ήταν η αυθεντική εκφώνηση.

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:3. Αν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες μεγαλύτερες του ,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.
Υπάρχει μια εκκρεμότητα με το θέμα 3 και τα πρόσημα της πρώτης εξίσωσης.
Στην παραπομπή εδώ όπως ορθά μου επισήμανε ο Παυλος (Μαραγκουδάκης) την έχει ως $ax^2+(c{\color{red} -}b)x+(e{\color{red} -}d)=0$ .
Την εκφώνηση την αντέγραψα με αντιγραφή επικόλληση από εδώ γιατί νόμιζα πως ήταν η ίδια άσκηση.
Επειδή αμφιβάλλω για τα πρόσημα, ας ελέγξει όποιος έχει την δυνατότητα ποια ήταν η αυθεντική εκφώνηση.

έχουμε νεώτερα

εδώ αναφέρεται ότι η σωστή εκφώνηση έχει όλα τα πρόσημα $\displaystyle{+}$

#6

Η εκφώνηση του συγκεκριμένου θέματος - για ιστορικούς λόγους - μια και έχω το φωτοαντίγραφο των θεμάτων όπως δόθηκαν τότε, είναι η εξής:

Αν η εξίσωση ax^2+(c-b)x+(k-l)=0

έχει ρίζες πραγματικές μεγαλύτερες από 1, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ax^4+bx^3+cx^2+lx+k=0

έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Αλέξανδρος

parmenides51 · #7

ευχαριστούμε τον Αλέξανδρο για την ενημέρωση και τον Παύλο για την αρχική επισήμανση

διορθώνω τα αρχικά πρόσημα

parmenides51 · #8

Από τον Ευκλείδη Β' (τ.3 σελ.48/49 ετος 1994-95) έχει διαφορετικά θέματα για το Λύκειο (4 θέματα ανά τάξη όπως και στις πρώτες ΕΜΟ),
για την χρονιά που τα θέματα του Γυμνασίου ήταν όντως αυτά εδώ.
Τι γίνεται άραγε ;

Ποια θέματα είναι σωστά;

Θα τα ανεβάσω με την πρώτη ευκαιρία.
Τα παραπάνω θέματα μεγάλων τα πήρα από το aops.

edit
Το μυστήριο λύθηκε, τα θέματα που εσφαλμένα γράφονται ως θέματα Αρχιμήδη στο παραπάνω τεύχος είναι τα θέματα του διαγωνισμού Ευκλείδη για το έτος 1994-95.

#9

2. Έστω τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με \displaystyle{AB=A\Gamma} και \displaystyle{\Delta} σημείο της \displaystyle{B\Gamma} τέτοιο ώστε ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου \displaystyle{AB\Delta}
και ο παρεγγεγραμμένος κύκλος που αντιστοιχεί στη γωνία \displaystyle{\widehat{A}} του τριγώνου \displaystyle{A\Delta\Gamma} να έχουν την ίδια ακτίνα.
Να αποδείξετε ότι αυτή η ακτίνα ισούται με το ένα τέταρτο του ύψους από την κορυφή \displaystyle{B} του τριγώνου \displaystyle{AB\Gamma}.*

έστω $\displaystyle{AB=AC=b,BC=a,AD=d,CD=x,KL=MN=r}$
από τα ίσα τρίγωνα $\displaystyle{KLD,DMN}$ εί ναι $\displaystyle{DM=DK}$
αλλά $\displaystyle{DK=(1/2)(b+d+x)-b,DM=(1/2)(b+d+a-x)-d}$ οπότε $\displaystyle{x=a/2+b-d}$
ακόμη
$\displaystyle{(ABC)=(ABD)+(ACD)}$ ή $\displaystyle{1/2b v_b=(1/2)(b+d+x)r+((1/2)(b+d+a-x)-(a-x))r}$
αντικαθιστώντας την τιμη του χ βρίσκουμε $\displaystyle{bv_b=4br}$ που είναι το ζητούμενο

#10

parmenides51 έγραψε:3. Αν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες μεγαλύτερες του ,
να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Αν

η ρίζα της εξίσωσης ax^2+(c-b)x+(e-d)=0

τότε $ax_0^2+cx_0+e=bx_0+d \ \ (1)$

Οπότε αν θέσουμε f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

, τότε

$f\left(\sqrt{x_0}\right)=bx_0+d+bx_0\sqrt{x_0}+d\sqrt{x_0} =(bx_0+d)\left(1+\sqrt{x_0}\right)$ και
$f\left(-\sqrt{x_0}\right)=bx_0+d-bx_0\sqrt{x_0}-d\sqrt{x_0}=(bx_0+d)\left(1-\sqrt{x_0}\right)$ .

Όμως η

είναι συνεχής ως πολυώνυμο στο διάστημα $\left[-\sqrt{x_0},\sqrt{x_0}\right]$ και ισχύει $f\left(\sqrt{x_0}\right) f\left(\sqrt{x_0}\right)=(1-x_0)(bx_0+d)^2\leq 0$ άρα από το θεώρημα Bolzano έχουμε το ζητούμενο.

Αλέξανδρος

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 1994 - ΛΥΚΕΙΟ

Μέλη σε σύνδεση