Συλλογή Ασκήσεων

irakleios · #61

sidchris έγραψε: Άσκηση 38η
Στο παρακάτω σχήμα η πλευρά $\Gamma \Delta =12$ και η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι κατά 5 μεγαλύτερη από αυτή του μικρού. Να βρεθούν οι ακτίνες των κύκλων
Αφιερωμένη στο Δημήτρη!!

Νομίζω πως εδώ θα πρέπει η $\Gamma \Delta$ να εφάπτεται και στους δύο κύκλους , αλλιώς δεν βλέπω πως μπορεί να λυθεί .

Αν είναι έτσι , τότε έχουμε ένα τραπέζιο και τα πράγματα είναι απλά . Αρκεί να λύσουμε την 5^2 + 12^2 = (5 + 2x)^2

sidchris · #62

Άσκηση 40η
Δινεται ρόμβος του οποίου οι αποστάσεις τον παραλλήλων είναι 4.Αν το εμβαδο του είναι 20 να βρεθεί η μεγάλη και η μικρή διαγώνιος του
Αφιερωμένη στον Θοδωρη!!

irakleios · #63

sidchris έγραψε:Άσκηση 39η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι $\left(AB\Gamma \right)-\left(A\Delta \Gamma \right)=6$ και $\left( AB\Gamma \Delta \right)=24$ .Να βρεθεί η πλευρά $B\Gamma$
Αφιερωμένη στο Μάκη!!

Θα είναι $\left(A\Delta \Gamma \right) = \frac{24 - 6}{2} = 9$ οπότε $\left(AB\Gamma \right) = 15.$
Κάνοντας χρήση του τύπου υπολογισμού για το εμβαδόν του τριγώνου βρίσκουμε τις βάσεις

και

. Οπότε φέρνοντας το ύψος του τραπεζίου δημιουργούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές

και

και υποτείνουσα την $B\Gamma$ . Το Πυθαγόρειο Θεώρημα θα μας δώσει $B\Gamma = 5$ .

irakleios · #64

sidchris έγραψε:Ασκηση 36η
Να βρεθουν τα α,β,γ αν ισχυει οτι $\left(\alpha -1 \right)^{2}+\sqrt{\beta -2}+1\leq \eta \mu \gamma^{o}$

Επειδή $\left(\alpha -1 \right)^{2}+\sqrt{\beta -2}+1\geq 1$ πρέπει $\left(\alpha -1 \right)^{2}+\sqrt{\beta -2}+1 = 1$
απ'όπου $a = 1 , b = 2 , \gamma = 90^{o} .$

Γιώργος Απόκης · #65

sidchris έγραψε:Ασκηση 12η
Δίνεται το τραπέζιο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με $\displaystyle{A\Delta =4}$ και $\displaystyle{B\Gamma =5}$ .Αν η περίμετρος του $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ ειναι 22 να βρεθεί
α)το εμβαδό του τραπεζίου
β)Να δειχθεί ότι η $\displaystyle{B\Delta}$ είναι διχοτόμος της γωνίας $\hat{B}$

Ίδια εδώ

Γιώργος Απόκης · #66

sidchris έγραψε:Άσκηση 33η

Στο παρακάτω σχήμα το είναι το μέσο της $\Delta \Gamma$ .Να βρεθει το τμήμα

Είναι $B\Gamma=A\Delta =16$ , άρα $\Gamma E=16-7=9$ . Από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο $A\Delta Z$ , έχουμε:

$\Delta Z^2=AZ^2-A\Delta^2=20^2-16^2=400-256=144$ , άρα $Z\Gamma=\Delta Z=\sqrt{144}=12$ .

Από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο $Z\Gamma E$ , έχουμε :

$ZE^2=Z\Gamma^2+\Gamma E^2=12^2+9^2=144+81=225$ άρα $ZE=\sqrt{225}=15$ .

Γιώργος Απόκης · #67

sidchris έγραψε:Άσκηση 40η
Δινεται ρόμβος του οποίου οι αποστάσεις τον παραλλήλων είναι 4.Αν το εμβαδο του είναι 20 να βρεθεί η μεγάλη και η μικρή διαγώνιος του
Αφιερωμένη στον Θοδωρη!!

Η απόσταση των παραλλήλων ισούται με το ύψος του ρόμβου. Αν η πλευρά του είναι

, τότε έχουμε : $x\cdot 4=20$ άρα x=5

.

Έστω ότι οι διαγώνιοι έχουν μήκη d_1=BD,d_2=AC

με

. Από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο CKB

, έχουμε:

$\displaystyle{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2=25}$

$\displaystyle{\frac{d_1^2}{4}+\frac{d_2^2}{4}=25}$

$\displaystyle{d_1^2+d_2^2=100}$ (1)

To εμβαδόν του ρόμβου ισούται με το τετραπλάσιο του εμβαδού του KCB

, δηλαδή $\displaystyle{4\frac{KB\cdot KC}{2}=4\frac{\frac{d_1d_2}{4}}{2}=\frac{d_1d_2}{2}}$ .

Έτσι, ισχύει : $\displaystyle{\frac{d_1d_2}{2}=20}$ ή $\displaystyle{d_1d_2=40}$ άρα $\displaystyle{d_2=\frac{40}{d_1}}$ (2). Aντικαθιστούμε στην (1):

$\displaystyle{d_1^2+\left(\frac{40}{d_1}\right)^2=100}$

$\displaystyle{d_1^2+\frac{1600}{d_1^2}=100}$

$\displaystyle{d_1^4+1600=100d_1^2}$

$\displaystyle{d_1^4-20d_1^2-80d_1^2+1600=0}$

$\displaystyle{d_1^2(d_1^2-20)-80(d_1^2-20)=0}$

$\displaystyle{(d_1^2-20)(d_1^2-80)=0}$ άρα $d_1=\sqrt{20}~\acute{\eta}~d_1=\sqrt{80}$ και από τη (2), αντίστοιχα $d_2=\sqrt{80}~\acute{\eta}~d_2=\sqrt{20}$ .

Όμως, d_1>d_2

άρα $d_1=\sqrt{80}=4\sqrt{5},~d_2=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ .

sidchris · #68

Ασκηση 41η
Στο παρακάτω σχήμα δινεται ότι το Ε είναι μέσο που

.Να βρεθεί το μήκος του $\Delta \Theta$
Αφιερωμένη στον Κυριάκο!!

sidchris · #69

Άσκηση 42
Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\Gamma \Delta =5$ και AB=10

.Αν $\left( AEB\right)=9$ και $\left( A\Gamma \Delta \right)=15$ τότε να βρεθεί το μήκος του $\Delta E$
Αφιερωμένη στη Φαιη!!

sidchris · #70

Άσκηση 43η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και σημείο Δ στην πλευρά $B\Gamma$ τέτοιο ώστε $AB=A\Delta=\Delta \Gamma=4$ .Αν $\left( A\Gamma \Delta \right)=4\sqrt{3}$ να δειχθεί ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο

sidchris · #71

Άσκηση 44η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $A\Gamma=20$ και σημείο Δ στην πλευρά $B\Gamma$ τέτοιο ώστε $\Delta \Gamma=7$ , $AB=A\Delta$ .Αν $\left( A\Gamma \Delta \right)=42$ και να δειχθεί ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο

sidchris · #72

Άσκηση 45η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $A\Gamma=20$ και $B \Gamma=25$ .Αν $\eta \mu \hat{\Gamma} =\frac{3}{5}$ και να δειχθεί ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο

sidchris · #73

Άσκηση 46η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με ύψος AE =8

.Αν η πλευρά $B\Gamma$ είναι ακέραιος αριθμός μικρότερος από 33 και μεγαλύτερος από 17 και ισχύει ότι $\epsilon \varphi \hat{B},\epsilon \varphi \hat{\Gamma }$ είναι αντίστροφοι αριθμοί να βρεθεί η περίμετρος του τριγώνου $AB\Gamma\left$

sidchris · #74

Άσκηση 47η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με $A\Gamma=20$ και $\sigma \upsilon \nu \hat{\Gamma }=\frac{4}{5}$ .Αν $\sigma \upsilon \nu \hat{B }=\frac{3}{5}$ να δειχθεί ότι το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο

sidchris · #75

Άσκηση 48η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με AB=6

και $\hat{B }=30$ .Αν Δ σημειο της $B\Gamma$ ωστε $A\Delta =B\Delta$ και $\Gamma \Delta =4\sqrt{3}$ να βρεθει η γωνια $\hat{A}$

Γιώργος Απόκης · #76

sidchris έγραψε: Άσκηση 48η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με και $\hat{B }=30$ . Αν Δ σημειο της $B\Gamma$ ωστε $A\Delta =B\Delta$ και $\Gamma \Delta =4\sqrt{3}$ να βρεθει η γωνια $\hat{A}$

Έστω

ύψος του $AB\Gamma$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο AEB

είναι : $\displaystyle{\eta \mu 30^o=\frac{AE}{AB}}$ άρα AE=3

.

Το $AB\Delta$ είναι ισοσκελές, άρα $\color{red}\hat{A_1}=30^o$ , επομένως $\widehat{A\Delta B}=120^0$ και $\widehat{A\Delta E}=60^0$ . Έτσι, από το $AE\Delta$ είναι $\color{red}\hat A_2=30^o$ .

Επίσης, $\displaystyle{\epsilon \phi 30^o=\frac{E\Delta}{AE}~\acute{\eta}~\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{E\Delta}{3}~\acute{\eta}~E\Delta =\sqrt{3}}$ . Επομένως, $\Gamma E=\Gamma \Delta-E\Delta=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ .

Στο $A\Gamma E$ έχουμε : $\displaystyle{\epsilon \phi A_3=\frac{\Gamma E}{A E}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}}$ άρα $\color{red}\hat{A_3}=60^o$ . Τελικά $\hat A=30^o+30^o+60^o=120^o$ .

sidchris · #77

Άσκηση 49η
Δίνεται ορθογωνιο τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με $\hat{\Gamma }=30^{o}$ .Αν I ειναι σημειο τομης των διχοτομων των γωνιων Β,Γ και IB=2

να βρεθει το $\left( AB\Gamma \right)$

sidchris · #78

Άσκηση 50η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με $\hat{\Gamma }=30^{o}$ , $\hat{A }=105^{o}$ .Αν $AB=x\sqrt{2}$ και $A\Gamma=3x-4$ να βρεθεί το

nick-mathsfan · #79

sidchris έγραψε: Άσκηση 50η
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma\left$ με $\hat{\Gamma }=30^{o}$ , $\hat{A }=105^{o}$ .Αν $AB=x\sqrt{2}$ και $A\Gamma=3x-4$ να βρεθεί το

Χρησιμοποιούμε το νόμο των ημιτόνων:
$\frac{\alpha }{\sin\alpha } =\frac{\beta }{\sin \beta }=\frac{\gamma }{\sin \gamma }$
$\Rightarrow \frac{3\chi -4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\chi \sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$
$\Rightarrow \frac{6\chi -8}{\sqrt{2}}=2\chi \sqrt{2}$
$\Rightarrow 6\chi -8=4\chi$
$\Rightarrow 2\chi =8$
$\Rightarrow \chi =4$

*Η τρίτη γωνία θα είναι ίση με 45 μοίρες λόγω αθροίσματος γωνιών τριγώνου
**Συγνώμη για τυχόν λάθη στο latex

T-Rex · #80

Γιώργος Απόκης έγραψε:
sidchris έγραψε: Άσκηση 26η

Αν για έναν τριψήφιο ισχύει $\overline{\alpha \beta \gamma}= \overline{\alpha \beta}+ \overline{\beta \gamma }+\overline{\gamma\alpha }$ να βρεθούν οι α,β,γ
H ισότητα γράφεται :

$100 \alpha +10\beta+\gamma=10 \alpha +\beta+10\beta +\gamma+10\gamma +\alpha$ ή

$89\alpha=\beta+10\gamma$ . Όμως, $\beta+10\gamma\leq 99$ , άρα πρέπει : $89\alpha\leq 99$

από όπου έχουμε : $\alpha=1$ . Eπομένως, ισχύει : $\beta+10\gamma=89$ ή $\overline{\gamma \beta}=89$ .

Tελικά, ο αριθμός είναι ο

Και μία άλλη απάντηση
αβ
βγ
+ γα
-----------
αβγ
επειδή όταν προσθετουμε τις μονάδες β,γ,α μας δίνουν δεκα και γ καταλαβαινουμε ότι a+b=10

ακόμη το

γιατί

και το $c\preceq 9$ δηλαδή έχουμε ένα το κρατούμενο
στις δεκαδες επειδή μας δινουν το α,β,γ δέκα και β και επειδή έχουμε και ένα κρατούμενο το α+γ μας κάνει 9
άρα το a=1

το

και το

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση