Putnam 2012 - Θέμα A6

#1

Έστω $f : \Bbb{R}^2 \to \Bbb{R}$ μια συνεχής συνάρτηση.

Υποθέτουμε ότι για κάθε ορθογώνιο $R \subset \Bbb{R}^2$ με εμβαδό ίσο με

ισχύει $\displaystyle{\iint\limits_{R}{f\left( x,y \right)}dxdy = 0}.$

Να εξετάσετε αν $f \left(x, y \right) = 0$ για κάθε $x, y \in \Bbb{R}^2$ .

Ilias_Zad · #2

Noμίζω πως έχω μια απόδειξη, αρκετά τεχνική βέβαια, που χρησιμοποιεί μάλιστα μόνο ορθογώνια με πλευρές παράλληλες στους άξονες.

Αν πάρουμε το $R=[0,a] x [0,\frac{1}{a}]$ για ορθογώνιο με a>0

,
ισχύει $\int_{0}^{a} \int_{0}^{\frac{1}{a}}f(x,y)dydx=0$ .

Παραγωγίζοντας την σχέση ως προς

παίρνουμε
$\int_{0}^{\frac{1}{a}}f(a,y)dy= \frac{1}{a^2}\int_{0}^{a}f(x,\frac{1}{a})dx$ (1).

Τώρα αν "κουνήσουμε" το ορθογώνιο προς τα πάνω κατά e>0

έπεται ότι
$\int_{0}^{a} \int_{0}^{e}f(x,y)dydx= \int_{0}^{a} \int_{\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}+e}f(x,y)dydx$ $=\int_{0}^{a} \int_{0}^{\frac{1}{a}+e}f(x,y)dydx$ (2)

Παραγωγίζοντας την τελευταία τώρα σχέση ως προς a, έπεται ότι
$\int_{0}^{e} f(a,y)= \int_{0}^{\frac{1}{a}+e}f(a,y)dy-\frac{1}{a^2}\int_{0}^{a}f(x,\frac{1}{a}+e)dx$ ,
και άρα
$\int_{0}^{\frac{1}{a}}f(a,y)dy=\frac{1}{a^2}\int_{0}^{a}f(x,\frac{1}{a}+e)dx \rightarrow$
$\int_{0}^{a}f(x,\frac{1}{a})dx=\int_{0}^{a}f(x,\frac{1}{a}+e)dx$ , λόγω της (1).

Τώρα όμως ολοκληρώνοντας για

από

έως $\frac{1}{a}$ ,
παίρνουμε ότι $\frac{1}{a}\int_{0}^{a}f(x,\frac{1}{a})dx=0$ , λόγω της υπόθεσης.

Άρα $0=\int_{0}^{a}f(x,\frac{1}{a})dx=\int_{0}^{a}f(x,\frac{1}{a}+e)dx$ για κάθε a,e>0

.
Αν τώρα πάρουμε ένα x_0> 0

, για

κοντά στο

και $y_0>\frac{1}{x_0}$ , ισχύει $\int_{0}^{a}f(x,y_0)dx=0$ .

Επομένως εύκολα f(x_0,y_0)=0

.

Άρα η

είναι μηδέν πάνω από την υπερβολή $(x,\frac{1}{x}),x>0$ .

Tώρα όμως αν ολοκληρώσουμε στο $[0,a]x[\frac{1}{a}-e,\frac{2}{a}-e]$ , όπου $e<\frac{1}{a}, a>0$
παίρνουμε ότι $\int_{0}^{a} \int_{\frac{1}{a}-e}^{\frac{2}{a}-e}f(x,y)dydx=0$ , σχέση που δίνει

$\int_{0}^{a} \int_{0}^{\frac{1}{a}-e}f(x,y)dxdy=0$ .
Τώρα αν χειριστούμε την παραπάνω όμοια όπως
χειριστήκαμε την (2) μπορούμε να πάρουμε την

μηδέν και κάτω από την υπερβολή
$(x,\frac{1}{x}),x>0$ .
Στρίβωντας 90,180 και 270 μοιρές τα ορθογώνια που δουλεύουμε έπεται ότι η

είναι η μηδενική , όπως θέλαμε.

Putnam 2012 - Θέμα A6

Putnam 2012 - Θέμα A6

Re: Putnam 2012 - Θέμα A6

Μέλη σε σύνδεση