Ωραία συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x + y f(x))= f(x f(y))- x + f(y + f(x)) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Antonis_Z · #2

Καλσπέρα.

Θέτω για ευκολία c=f(0)

.

Για

έχουμε:

Για

έχουμε:

(a)
Για

έχουμε:

και από την προηγούμενη αυτή γίνεται: f(y)+f(f(y)+c)=0

.(b)
Στην αρχική για y=c

λαμβάνουμε: $f(x+cf(x))=c-x+f(c+f(x))\Leftrightarrow f(x+cf(x))=c-x-f(x)$ (από την (b)) (1).
Στην (1) θέτω x=0

και παίρνω: f(c^2)=0

.
Ύστερα πάλι στην (1) θέτω x=c^2

και παίρνω: $c-c^2=0\Leftrightarrow c=0 or c=1$ .

1η περίπτωση:Αν c=0

η (1) γράφεται ισοδύναμα: f(x)=-x/2

,η οποία συνάρτηση δεν ικανοποιεί την αρχική σχέση.

2η περίπτωση: Αν c=1

τότε η (a) γράφεται: f(f(y))=1-f(y)

(d).
Στην αρχική θέτω y=0

και παίρνω: f(f(x))=x

ή αλλιώς

.
Αντικαθιστώ αυτό στη (d) και λαμβάνω: f(y)=1-y

,η οποία επαληθεύει και είναι μοναδική.

Ελπίζω να μην έκανα κάποια απροσεξία...

#3

Δείτε και

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=517991

Ωραία συναρτησιακή

Ωραία συναρτησιακή

Re: Ωραία συναρτησιακή

Re: Ωραία συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση