Aρκετά ερωτήματα

erxmer · #1

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί $z=\sqrt{t+1}+(t-1)i \, \, , t \geq 0$

1) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του

στο επίπεδο

2) Nα βρεθεί η ελάχιστη τιμή του |z|

3) Nα υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{-2t^2+3t-1}{t-2}sin\frac{1}{Imz}}$

4) Aποδείξτε οτι $\displaystyle{\exists x_0 \in (0,2): 2\int_{0}^{x_0}{e^tImzdt}=x_0^2+1}$

edit διόρθωση τυπογραφικού

#2

erxmer έγραψε:Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί $z=\sqrt{t+1}+(t-1)i \, \, , t \geq 0$

1) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο επίπεδο

2) Nα βρεθεί η ελάχιστη τιμή του

3) Nα υπολογιστεί το όριο $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{-2t^2+3t-1}{t-2}sin\frac{1}{Imz}}$

4) Aποδείξτε οτι $\displaystyle{\exists x_0 \in (0,2): 2\int_{0}^{x_0}{e^tImzdt}=x_0^2+1}$

1) Για $t \geq 0$ και $z=x+yi, x,y \in \mathbb{R}$ έχουμε:
$\displaystyle{\begin{cases} x=\sqrt{t+1}\\ y=t-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=\sqrt{t+1}\\ y=t-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x^2-y=2\\ y=t-1 \end{cases} }$ ,
δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των σημείων είναι η παραβολή με εξίσωση $\displaystyle{y=x^2-2}$ .

2) Τότε $\displaystyle{z=x+(x^2-1)i, x \geq 1}$ και θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=x^2+(x^2-2)^2, x\geq 1}$ ,

η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική με $\displaystyle{g'(x)=2x+2(x^2-2)2x=2x(2x^2-3)}$ .

Επίσης $\displaystyle{g'(x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{\sqrt{6}}{2}}$ ,

οπότε είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left[1, \frac{\sqrt{6}}{2} \right]}$ και
γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left[\frac{\sqrt{6}}{2}, +\infty \right)}$ ,
δηλαδή παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για $\displaystyle{x=\frac{\sqrt{6}}{2}}$ το $\displaystyle{g\left(\frac{\sqrt{6}}{2} \right)=\frac{7}{4}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{min|z|=\frac{\sqrt{7}}{2}}$ .

3) Για x>1

έχουμε:
$\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{-2t^2+3t-1}{t-2}sin\frac{1}{Imz}=\lim_{x \to +\infty}\frac{-2(x^2-1)^2+3(x^2-1)-1}{(x^2-1)-2}sin\frac{1}{x^2-2}=}$

$\displaystyle{=\lim_{x \to +\infty}\frac{-2(x^2-1)^2+3(x^2-1)-1}{(x^2-3)(x^2-2)}\frac{sin\frac{1}{x^2-2}}{\frac{1}{x^2-2}}=-2}$ .

4) Ισχύει ότι:

$\displaystyle{\int_{0}^{x}{e^tImzdt}=\int_{0}^{x}{e^t(t-1)dt}=\int_{0}^{x}{(e^tt-e^t)dt}=\left[e^tt \right]_0^x-\int_0^xe^tdt-\int_0^xe^tdt=e^xx-2e^x+2}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση

με $\displaystyle{g(x)=2(e^xx-2e^x+2)-(x^2+1), x\in [0,2]}$ ,

η οποία είναι αρνητική...

chrislg · #3

η μεταβλητή χ στο όριο στο ερώτημα (3) τι αντιπροσωπεύει ?

#4

τυπογραφικό είναι , βάλε το t στη θέση του

#5

chrislg έγραψε:η μεταβλητή χ στο όριο στο ερώτημα (3) τι αντιπροσωπεύει ?

Εγώ νομίζω ότι ο ποιητής εννοεί το πραγματικό μέρος του μιγαδικού. Γι' αυτό και η λύση που έδωσα.

erxmer · #6

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
chrislg έγραψε:η μεταβλητή χ στο όριο στο ερώτημα (3) τι αντιπροσωπεύει ?
Εγώ νομίζω ότι ο ποιητής εννοεί το πραγματικό μέρος του μιγαδικού. Γι' αυτό και η λύση που έδωσα.

Ακριβώς αυτό.

Aρκετά ερωτήματα

Aρκετά ερωτήματα

Re: Aρκετά ερωτήματα

Re: Aρκετά ερωτήματα

Re: Aρκετά ερωτήματα

Re: Aρκετά ερωτήματα

Re: Aρκετά ερωτήματα

Μέλη σε σύνδεση