Πολυώνυμα (1)!

#1

Το μέλος jim32 μου ζήτησε να δημοσιεύσω την παρακάτω άσκηση:

Να βρεθούν τα πολυώνυμα $\displaystyle{\rm P}$ για τα οποία ισχύει

$\displaystyle{\rm P(P(x))=9x+8,}$ για κάθε $\displaystyle{\rm x\in \mathbb{R}.}$

Grigoris K. · #2

Αν $\displaystyle{ n }$ ο βαθμός του $\displaystyle{ P(x) }$ τότε ο βαθμός του $\displaystyle{ P(P(x)) }$ είναι $\displaystyle{ n^2 }$ . Συνεπώς $\displaystyle{ n^2 = 1 \implies n = 1 }$ .

Έστω $\displaystyle{ P(x) = ax +b }$ . Ισχύει $\displaystyle{ P(P(x)) = 9x + 8 \iff a(ax+b) + b = 9x + 8 \iff a^2x + b(a+1) = 9x + 8 }$

$\displaystyle{\iff (a,b) =(3,2),(-3,-4) }$ . Άρα $\displaystyle{ P(x) = 3x + 2 }$ ή $\displaystyle{ P(x) = -3x - 4 }$ .

jim32 · #3

Grigoris K. έγραψε:Αν $\displaystyle{ n }$ ο βαθμός του $\displaystyle{ P(x) }$ τότε ο βαθμός του $\displaystyle{ P(P(x)) }$ είναι $\displaystyle{ n^2 }$ . Συνεπώς $\displaystyle{ n^2 = 1 \implies n = 1 }$ .

Έστω $\displaystyle{ P(x) = ax +b }$ . Ισχύει $\displaystyle{ P(P(x)) = 9x + 8 \iff a(ax+b) + b = 9x + 8 \iff a^2x + b(a+1) = 9x + 8 }$

$\displaystyle{\iff (a,b) =(3,2),(-3,-4) }$ . Άρα $\displaystyle{ P(x) = 3x + 2 }$ ή $\displaystyle{ P(x) = -3x - 4 }$ .

τις ίδιες λύσεις βρήκα και εγώ.ευχαριστώ πολυ!

Πολυώνυμα (1)!

Πολυώνυμα (1)!

Re: Πολυώνυμα (1)!

Re: Πολυώνυμα (1)!

Μέλη σε σύνδεση