Διοφαντική με κλάσματα

#1

Βρείτε όλες τις ακέραιες και μη αρνητικές λύσεις της εξίσωσης

$\displaystyle{\frac{1}{x + 2}+\frac{1}{y + 2}=\frac{1}{2}+ \frac{1}{z + 2}.}$

#2

Θα πρέπει $\displaystyle{\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}>\frac{1}{2}}$ , οπότε xy<4

.

Ας υποθέσουμε λόγω συμμετρίας ότι $x\leq y.$

Έχουμε να ελέγξουμε τις περιπτώσεις:

x=0

ή $\left(x,y \right)=\left(1,1 \right),\left(1,2 \right),\left(1,3 \right)$

Άρα $\left(x,y,z \right)=\left(0,k,k \right),k\geq 0$ ή $\left(x,y,z \right)=\left(1,1,4 \right),\left(1,2,4 \right),\left(1,3,28 \right)$ .

Όλες οι λύσεις της αρχικής είναι:

$\left(0,k,k \right),\left(k,0,k \right),k\geq 0$ καθώς και οι $\left(1,1,4 \right),\left(1,2,4 \right),\left(2,1,4 \right),\left(1,3,28 \right),\left(3,1,28 \right)$

Διοφαντική με κλάσματα

Διοφαντική με κλάσματα

Re: Διοφαντική με κλάσματα

Μέλη σε σύνδεση