Μια διοφαντική

#1

Να βρεθούν οι μη αρνητικές λύσεις της

1997^a+15^b=2012^c.

#2

Παρατηρούμε ότι μια λύση είναι η (1,1,1)

. Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχει άλλη. Αν υπήρχε θα έπρεπε $c \geqslant 2$ . Δουλεύοντας $\bmod 8$ έχουμε $1997^a \equiv 5^a \bmod 8$ και άρα είναι ισότιμο με $5\bmod 8$ αν

περιττός και με $1 \bmod 8$ αν

άρτιος. Ομοίως το 15^b

είναι ισότιμε με

ή με $1 \bmod 8$ ανάλογα αν τα

είναι περιττός ή άρτιος. Άρα πρέπει ο

να είναι άρτιος και ο

περιττός.

Γράφω τώρα a = 2m,c=2n

και παίρνω $15^b = 2012^{2n} - 1997^{2m} = (2012^n + 1997^m)(2012^n-1997^m)$ .

Δεν μπορούν και τα δύο από τα

και

να είναι πολλαπλάσια του

αφού τότε το άθροισμά τους $2\cdot 2012^n$ θα ήταν επίσης πολλαπλάσιο του

. Ομοίως δεν μπορούν και τα δύο να είναι πολλαπλάσια του

. Τέλος από το θεώρημα Mihailescu (απόδειξη εικασίας Catalan) δεν μπορεί κανένα να ισούται με 1.

Άρα πρέπει το ένα να ισούται με 3^a

και το άλλο με 5^a

και άρα πρέπει $\displaystyle{ 2012^n + 1997^m = 5^a}$ και $\displaystyle{ 2012^n - 1997^m = 3^a}$ . Τότε όμως έχουμε $2 \cdot 1997^n = 5^a - 3^a = 2(5^{a-1} + 3\cdot5^{a-2} + \cdots + 3^{a-1})$ και δουλεύοντας $\bmod 2$ πρέπει ο

να είναι περιττός. Τότε έχουμε $2 \cdot 2012^n = 5^a + 3^a = 5^a - (-3)^a = 8(5^{a-1} - 3\cdot5^{a-2} + \cdots + 3^{a-1})$ . Επειδή ο

είναι περιττός τότε έχουμε $5^{a-1} - 3\cdot5^{a-2} + \cdots + 3^{a-1} \equiv 1 \bmod 2$ και άρα $2 \cdot 2012^n \equiv 8 \bmod 16$ . Πρέπει λοιπόν n=1

. Όμως ο $2\cdot 2012$ δεν μπορεί να γραφεί στην μορφή 5^a + 3^a

αφού

ενώ

. Άρα η εξίσωση είναι πράγμαι αδύνατη και η μοναδική λύση είναι όντως η (1,1,1)

.

ΦΕΡΡΑΙΟΣ · #3

Μπορεί κανένας να μου εξηγήσει το θεώρημα Mihailescu

#4

Η διάσημη εικασία του Catalan λέει ότι οι μόνοι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί οι οποίοι είναι δυνάμεις φυσικών είναι ο 8 = 2^3

και ο

. Με άλλα λόγια λέει ότι η μοναδική λύση της διοφαντικής εξίσωσης a^m - b^n = 1

με

και

είναι η

.

Αυτό αποδείχθηκε το 2002 από τον Preda Mihailescu.

Δεν είμαι βέβαιος κατά πόσον επιτρέπεται να την επικαλεστούμε στους μαθηματικούς διαγωνισμούς.

ΦΕΡΡΑΙΟΣ · #5

ok Ευχαριστώ πολύ Δημήτρη

#6

Η άσκηση προτάθηκε σε διεθνή διαγωνισμό....

Υπάρχει και λύση χωρίς το θεώρημα Mihailescu...

#7

Έχεις δίκιο. Το μόνο που μένει για να συμπληρωθεί η λύση χωρίς Mihailescu είναι να δείξω ότι η 2012^n - 1997^m = 1

δεν έχει λύση στους φυσικούς. Για n=0,1

είναι άμεσο. Για $n \geqslant 2$ έχουμε $2012^\equiv 0 \bmod 8$ και $1997^m \equiv 1 \bmod 8$ ή $1997^m \equiv 5 \bmod 8$ . Άρα και για $n \geqslant 2$ η εξίσωση είναι αδύνατη.

Μια διοφαντική

Μια διοφαντική

Re: Μια διοφαντική

Re: Μια διοφαντική

Re: Μια διοφαντική

Re: Μια διοφαντική

Re: Μια διοφαντική

Re: Μια διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση