Αδύνατη διαφαντική

#1

Δεν υπάρχουν ακέραιοι x,y

τέτοιοι ώστε x^2+ 5 = y^3.

#2

socrates έγραψε:Δεν υπάρχουν ακέραιοι τέτοιοι ώστε

Αν υπήρχαν τέτοιοι ακέραιοι, τότε θα είχαμε

$y^3\equiv 1+x^2 \pmod{4}\equiv 1 \quad \text{or} \quad 2 \pmod{4}$ ,

οπότε $y\equiv 1 \pmod{4}$ , κι άρα $y^2+y+1\equiv 3\pmod{4}$ .

Αφού

x^2+4=(y-1)(y^2+y+1)

θα υπήρχε πρώτος $p\equiv 3 \pmod{4}$ που να διαιρεί το x^2+4

, άτοπο (διότι ο

θα πρέπει να διαιρεί το 2).

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΦΕΡΡΑΙΟΣ · #3

Κύριε Λάμπρου έχετε δίκιο έκανα την διόρθωση

$\displaystyle{x^2\equiv 0mod7\Rightarrow x^2+5\equiv 5mod7}$ ή
$\displaystyle{x^2\equiv 1mod7\Rightarrow x^2+5\equiv 6mod7}$ ή
$\displaystyle{x^2\equiv 2mod7\Rightarrow x^2+5\equiv 0mod7}$ ή
$\displaystyle{x^2\equiv 4mod7\Rightarrow x^2+5\equiv 9mod7}$

$\displaystyle{y^3\equiv 0mod7}$ ή
$\displaystyle{y^3\equiv 1mod7}$ ή
$\displaystyle{y^3\equiv 6\equiv -1mod7}$

αρα θα πρέπει $\displaystyle{y=7k}$ και $\displaystyle{ x=7l\pm3}$ όπου $\displaystyle{k,l \in Z}$
$\displaystyle{y=7k}$ και $\displaystyle{x=7l\pm 3}$ (καθώς το $\displaystyle{x\equiv3mod7 και x\equiv4mod7 }$ δίνουν $\displaystyle{x^2\equiv 2mod7\Rightarrow x^2+5\equiv 0mod7}$ )

με την αντικατάσταση έχουμε :
$\displaystyle{7^3k^3=7^2l^2\pm42l+14\Leftrightarrow 7(7k^3-l^2)=\pm 6l +2 \Rightarrow \pm 6l +2/7 \Rightarrow \pm6l+2= \pm1$ ή $\displaystyle{ \pm6l+2= \pm7}$ και στις $\displaystyle{4}$ περιπτώσεις δεν παίρνουμε ακέραιο αριθμό πράγμα που είναι άτοπο.

#4

ΦΕΡΡΑΙΟΣ έγραψε: $\displaystyle{7^3k^3=7^2l^2\pm42l+9\Rightarrow 7/ 7^2l^2\pm42l+9\Rightarrow 7/9}$ άτοπο

Μήπως λείπει ένα

μετά το

;

Φιλικά,

Μιχάλης

Αδύνατη διαφαντική

Αδύνατη διαφαντική

Re: Αδύνατη διαφαντική

Re: Αδύνατη διαφαντική

Re: Αδύνατη διαφαντική

Μέλη σε σύνδεση