Παγκύπριος Διαγωνισμός Β' Λυκείου 1983-1984

#1

Ημερομηνία Διεξαγωγής: 6 Μαΐου 1984.
Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες.

1. Σε αριθμητική πρόοδο ο λόγος του αθροίσματος των

πρώτων όρων προς το άθροισμα των

επόμενων όρων είναι ανεξάρτητος του

. Να βρεθεί η αριθμητική πρόοδος συναρτήσει του πρώτου όρου της

.

2. Αν x,y

πραγματικοί αριθμοί με $x,y \neq 0$ να δείξετε ότι η παράσταση

$\displaystyle{ 3\left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} \right) - 8\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) + 10}$

δεν είναι αρνητική.

3.

(α) Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = \ell \cos{x} + m \sin{x}$ όπου $\ell,m$ σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Αν υπάρχουν $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με $x_1 - x_2 \neq k \pi$ με $k \in \mathbb{Z}$ ώστε f(x_1) = f(x_2) = 0

να δείξετε ότι f(x) = 0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

(β) Δίνεται η συνάρτηση $g(x) = a \cos^2{x} + b \sin^2{x}$ όπου a,b

σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Αν υπάρχουν $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με $x_1 - x_2 \neq k \pi$ ή $x_1 + x_2 \notin k\pi$ με $k \in \mathbb{Z}$ ώστε g(x_1) = g(x_2) = 0

να δείξετε ότι g(x) = 0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

4. Σε κύκλο με κέντρο

και ακτίνα

εγγράφεται κανονικό 14-γωνο $P_1P_2\cdots P_{14}$ . Τα σημεία P_1=A,P_3=B

και

ορίζουν τρίγωνο ABC

με πλευρές a = (BC),b = (AC), c = (AB)

. Να δείξετε ότι

$\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 = 7R^2.}$

5. Έστω τετράγωνο ABCD

πλευράς

. Αν

σημείο του επιπέδου του τετραγώνου συμβολίζουμε με V_1,V_2,V_3,V_4

αντίστοιχα τους όγκους των σχημάτων που παράγονται από την περιστροφή των τριγώνων AMB,BMC,CMD,DMA

γύρω από τις ευθείες AB.BC,CD,DA

αντίστοιχα κατά γωνία $2\pi$ ακτίνια. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

αν
$\displaystyle{ V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = \frac{11\pi a^3}{27}.}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

BAGGP93 · #2

Demetres έγραψε:
2. Αν πραγματικοί αριθμοί με $x,y \neq 0$ να δείξετε ότι η παράσταση

$\displaystyle{ 3\left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} \right) - 8\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) + 10}$

δεν είναι αρνητική.

Καλησπέρα.

Θέτουμε $\displaystyle{\frac{x}{y}=k\neq 0}$

Άρα, θέλουμε να δείξουμε ότι

$\displaystyle{3\left(k^2+\frac{1}{k^2}\right)-8\left(k+\frac{1}{k}\right)+10\geq 0}$

ή

$\displaystyle{2\left(k^2+\frac{1}{k^2}\right)+\left(k^2+\frac{1}{k^2}\right)-8\left(k+\frac{1}{k}\right)+10\geq 0}$

ή

$\displaystyle{2\left[\left(k^2+\frac{1}{k^2}\right)-4\left(k+\frac{1}{k}\right)\right]+\left(k^2+\frac{1}{k^2}\right)+10\geq 0}$

ή

$\displaystyle{2\left[\left[\left(k+\frac{1}{k}\right)-2\right]^2-6\right]+\left(k^2+\frac{1}{k^2}\right)+10\geq 0}$

ή

$\displaystyle{2\left[\left(k+\frac{1}{k}\right)-2\right]^2+\left(k^2+\frac{1}{k^2}\right)-2\geq 0}$

ή

$\displaystyle{2\left[\left(k+\frac{1}{k}\right)-2\right]^2+\left(k-\frac{1}{k}\right)^2\geq 0}$

Η τελευταία όμως ισχύει με την ισότητα να υλοποιείται για $\displaystyle{k=1}$ ή ισοδύναμα για $\displaystyle{x=y}$

#3

Ένας δεύτερος τρόπος για την 2.
Αν θέσουμε το $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$ έχουμε
$3(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})-8(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+10=3(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2)-8(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+4=$
$=3a^2-8a+4=3(a-2)(a-\frac{2}{3})\geq 0$
γιατί αν $\frac{x}{y}>0$ τότε $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$
και αν $\frac{x}{y}<0$ τότε $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\leq -2$
οπότε και στις δύο περιπτώσεις το γινόμενο είναι μη αρνητικό
με το ίσον να ισχύει όταν a=2

ή

.

Ο δαίμων του μεσονυχτίου έφαγε την δεύτερη περίπτωση

Παγκύπριος Διαγωνισμός Β' Λυκείου 1983-1984

Παγκύπριος Διαγωνισμός Β' Λυκείου 1983-1984

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Β' Λυκείου 1983-1984

Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Β' Λυκείου 1983-1984

Μέλη σε σύνδεση