Σύστημα

#1

$\displaystyle{\begin{cases} \max \{1, x_1\} = x_2 \\ \max \{2, x_2\} = 2x_3 \\ ... \\ \max \{n − 1, x_{n−1} \} = (n − 1)x_n \\ \max \{n, x_n \} = nx_1. \end{cases}}$

Πηγή: http://www.om.edu.pl/zadania/czps/czps03.pdf

#2

Επαναφορά!

#3

Έστω $\displaystyle{\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right)}$ μια λύση του δοσμένου συστήματος.

Ισχυρισμός: Για κάθε $\displaystyle{i \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}$ ισχύει $\displaystyle{\boxed{{x_i} \le i}}$ .

Απόδειξη του Ισχυρισμού: Με απαγωγή σε άτοπο:

$\bullet$ Έστω ότι $\displaystyle{{x_1} > 1.}$ Τότε, είναι $\displaystyle{\max \left\{ {n,{x_n}} \right\} = n{x_1} > n}$ και άρα $\displaystyle{{{x_n} > n}.}$

$\bullet$ Έστω ότι $\displaystyle{{x_i} > i}$ για κάποιο $\displaystyle{i \in \left\{ {2,3, \ldots ,n} \right\}.}$ Τότε, είναι

$\displaystyle{\max \left\{ {i - 1,{x_{i - 1}}} \right\} = \left( {i - 1} \right){x_i} > \left( {i - 1} \right)i > i - 1}$

και άρα $\displaystyle{{{x_{i - 1}} > i - 1}.}$

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι αν ισχύει $\displaystyle{{x_i} > i}$ για έναν δείκτη $\displaystyle{i \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\},}$ τότε θα ισχύει $\displaystyle{{x_j} > j}$ για κάθε $\displaystyle{j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}.}$ Στην περίπτωση αυτή, το δοσμένο σύστημα γράφεται ισοδύναμα:

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} = {x_2}}\\ {{x_2} = 2{x_3}}\\ \vdots \\ {{x_{n - 1}} = \left( {n - 1} \right){x_n}}\\ {{x_n} = n{x_1}} \end{array}} \right\}}$ .

Πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις κατά μέλη, βρίσκουμε ότι $\displaystyle{{x_1}{x_2} \cdots {x_n} = n!{x_1}{x_2} \cdots {x_n}}$ κι επειδή $n \ge 2$ προκύπτει ότι $\displaystyle{{x_1}{x_2} \cdots {x_n} = 0,}$ που είναι άτοπο (αφού $\displaystyle{{x_j} > j >0 }$ για κάθε $\displaystyle{j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}$ ). Επομένως, ο Ισχυρισμός δείχθηκε.

Από τον Ισχυρισμό προκύπτει ότι το δοσμένο σύστημα γράφεται ισοδύναμα

$\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 = {x_2}}\\ {2 = 2{x_3}}\\ \vdots \\ {n - 1 = \left( {n - 1} \right){x_n}}\\ {n = n{x_1}} \end{array}} \right\}}$

και άρα έχει τη μοναδική λύση $\displaystyle{\left( {{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}} \right) = \left( {1,1, \ldots ,1} \right).}$

Σύστημα

Σύστημα

Re: Σύστημα

Re: Σύστημα

Μέλη σε σύνδεση