Ταυτότητα με συνθήκη

#1

Αν $\displaystyle{a+b=x+y }$ και $\displaystyle{a^2+b^2=x^2+y^2}$ , να αποδειχθεί ότι :

$\displaystyle{ a^{2013}+b^{2013}=x^{2013}+y^{2013} }$

Μπάμπης

freyia · #2

$\displaystyle{(a+b)^2 -2ab=(x+y)^2 -2xy\Rightarrow ab=xy\Rightarrow 2ab=2xy}$ και επειδή $\displaystyle{a^2 +b^2 =x^2 +y^2}$ :
$\displaystyle{a^2 +b^2 -2ab=x^2 +y^2 -2xy\Rightarrow (a-b)^2 =(x-y)^2\Rightarrow |a-b|=|x-y|}$
Θα διακρίνω δύο περιπτώσεις:
(α) $\displaystyle{a-b=x-y}$ . Eπειδή είναι ακόμα $\displaystyle{a+b=x+y}$ , βρίσκω με πρόσθεση και αφαίρεση: $\displaystyle{a=x}$ και $\displaystyle{b=y}$ .
Επομένως $\displaystyle{a^{2013}=x^{2013}}$ και $\displaystyle{b^{2013}=y^{2013}}$ . Προσθέτω κατά μέλη και τότε:
$\displaystyle{a^{2013}+b^{2013}=x^{2013}+y^{2013}}$
(b) $\displaystyle{a-b=y-x}$ . Πάλι τότε επειδή είναι $\displaystyle{a+b=x+y}$ τότε με πρόσθεση και με αφαίρεση, βρίσκω:
$\displaystyle{a=y , b=x}$ και επομένως και πάλι έxω $\displaystyle{a^{2013}+b^{2013}=x^{2013}+y^{2013}}$

#3

freyia έγραψε: $\displaystyle{(a+b)^2 -2ab=(x+y)^2 -2xy\Rightarrow ab=xy\Rightarrow 2ab=2xy}$ και επειδή $\displaystyle{a^2 +b^2 =x^2 +y^2}$ :
$\displaystyle{a^2 +b^2 -2ab=x^2 +y^2 -2xy\Rightarrow (a-b)^2 =(x-y)^2\Rightarrow |a-b|=|x-y|}$
Θα διακρίνω δύο περιπτώσεις:
(α) $\displaystyle{a-b=x-y}$ . Eπειδή είναι ακόμα $\displaystyle{a+b=x+y}$ , βρίσκω με πρόσθεση και αφαίρεση: $\displaystyle{a=x}$ και $\displaystyle{b=y}$ .
Επομένως $\displaystyle{a^{2013}=x^{2013}}$ και $\displaystyle{b^{2013}=y^{2013}}$ . Προσθέτω κατά μέλη και τότε:
$\displaystyle{a^{2013}+b^{2013}=x^{2013}+y^{2013}}$
(b) $\displaystyle{a-b=y-x}$ . Πάλι τότε επειδή είναι $\displaystyle{a+b=x+y}$ τότε με πρόσθεση και με αφαίρεση, βρίσκω:
$\displaystyle{a=y , b=x}$ και επομένως και πάλι έxω $\displaystyle{a^{2013}+b^{2013}=x^{2013}+y^{2013}}$

Μμμ ! Υπέροχα

!

Είναι θέμαμικρών τάξεων σε πολύ πρόσφατο διαγωνισμό(α΄ γύρος) στη Ρουμανία

Μπάμπης

Ταυτότητα με συνθήκη

Ταυτότητα με συνθήκη

Re: Ταυτότητα με συνθήκη

Re: Ταυτότητα με συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση