Ελάχιστη τιμή κυρτής

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #1

Ασκηση
Αν $f:R\rightarrow R$ κυρτή συνάρτηση και υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α, β, γ με α < β < γ ώστε $f(\beta )\leq min\left\{f(a), f(\gamma ) \right\}$ , τότε η f παίρνει ελάχιστη τιμή για κάποιο ξ $\in (a, \gamma )$ .

#2

Εφόσον η

είναι κυρτή, η πλευρική παράγωγος $\displaystyle{{f'}_+}$ είναι αύξουσα συνάρτηση:
$f'_+(x) \leq \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq f'_+(y)$ (*), για κάθε x<y

Για $\alpha < \beta<\gamma$ έχουμε $f(\beta)\leq f(\alpha)\leq f(\gamma)$ ή $f(\beta)\leq f(\gamma)\leq f(\alpha)$ ,
που σημαίνει ότι η

δεν είναι μονότονη στο $(\alpha,\gamma)$ .

Συνεπώς, από (*), υπάρχει $\xi \in (\alpha,\gamma)$ , τέτοιο ώστε $f'_+(x)\leq 0$ για κάθε $x \in (\alpha,\xi]$ και $f'_+(x)\geq 0$ για κάθε $x \in [\xi,\gamma)$ .

Άρα, η

είναι φθίνουσα στο $(\alpha,\xi]$ και αύξουσα στο $[\xi,\gamma)$ και το συμπέρασμα έπεται.

Αχιλλέας

#3

Καλή σας μέρα
Μια άλλη προσέγγιση: Αφού η

είναι κυρτή είναι και συνεχής (δείτε και viewtopic.php?f=5&t=99&hilit=%CE%BA%CF% ... F%84%CE%AE). Επομένως στο διάστημα $\left[ \alpha ,\gamma \right]$ παρουσιάζει ελάχιστο. Από την υπόθεση το ελάχιστο είναι μικρότερο ή ίσο των $f\left( \alpha \right) ,\,f\left( \beta \right) ,\,f\left( \gamma \right)$ άρα θα παρουσιάζεται και στο εσωτερικό του διαστήματος $\left[ \alpha ,\gamma \right]$ .
Μαυρογιάννης

Η απόδειξη χρειάζεται ένα επιπλέον επιχείρημα. Βλ. τα μήνυματα του Στράτου Παπαδόπουλου και του Aχιλλέα παρακάτω.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #4

Καλημέρα,
Ακαταμάχητες λύσεις!! τόσο η πανεπιστημιακη προσέγγιση όσο και η σχολική προσέγγιση Σας ευχαριστώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ · #5

Καλημέρα,
ξανακοιτώντας την λύση του κ.Μαυρογιάννη θα ήθελα να επισημάνω το εξής:
Η f ως κυρτή αποδεικνύεται ότι είναι συνεχής στο εσωτερικό του [α, γ] και όχι κατα αναγκη στα άκρα.επομένως υποψιάζομαι ότι δεν μπορουμε να ισχυριστούμε ότι έχει ελάχιστο.

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΡΑΤΟΣ έγραψε: Η f ως κυρτή αποδεικνύεται ότι είναι συνεχής στο εσωτερικό του [α, γ] και όχι κατα αναγκη στα άκρα.επομένως υποψιάζομαι ότι δεν μπορουμε να ισχυριστούμε ότι έχει ελάχιστο.

Αυτό διορθώνεται εύκολα. Κατά βάση η λύση του κ. Μαυρογιάννη είναι σωστή.

Αρκεί να θεωρήσουμε $c<\alpha<\gamma<d$ . Από την υπόθεση, η

είναι κυρτή στο (c,d)

και άρα συνεχής στο $[\alpha,\gamma]$ .
Τα υπόλοιπα παραμένουν ίδια.

Αν η υπόθεση ήταν ότι η

ορίζεται και είναι κυρτή στο $[\alpha,\gamma]$ αντί για όλο το $\mathbb{R}$ , τότε πράγματι, δεν θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι συνεχής στο $[\alpha,\gamma]$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#7

Στράτο έχεις δίκιο. Χρειάζεται κάποιο μερεμέτι. Σε ευχαριστώ για την επισήμανση. Ευχαριστώ και τον Αχιλλέα που έκανε την επισκευή της απόδειξης.
Μαυρογιάννης

Ελάχιστη τιμή κυρτής

Ελάχιστη τιμή κυρτής

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

Re: Ελάχιστη τιμή κυρτής

Μέλη σε σύνδεση