Συλλογή Ασκήσεων

raf616 · #101

sidchris έγραψε:Άσκηση 42
Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\Gamma \Delta =5$ και .Αν $\left( AEB\right)=9$ και $\left( A\Gamma \Delta \right)=15$ τότε να βρεθεί το μήκος του $\Delta E$
Αφιερωμένη στη Φαιη!!

Αρχικά, θα βρούμε το ύψος

το οποίο είναι και διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου.Έχουμε:

$(A\Gamma\Delta )=\frac{\beta \upsilon }{2}\Leftrightarrow 15=\frac{5AZ}{2}\Leftrightarrow 5AZ=30\Leftrightarrow AZ=\frac{30}{5}\Leftrightarrow AZ=6$

Έπειτα, θα βρούμε το μήκος

.Έχουμε:

$(AEB)=\frac{\beta \upsilon}{2}\Leftrightarrow 9=\frac{BE*6}{2}\Leftrightarrow6BE=18\LeftrightarrowBE=\frac{18}{6}\LeftrightarrowBE=3$

Για να βρούμε το μήκος $\Delta E$ θα πρέπει να βρούμε το $Z\Delta$ και το

. Το $Z\Delta$ είναι $Z\Gamma-\Gamma\Delta$ .Για $Z\Gamma$ εφαρμόζουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο $A\Gamma Z$ και έχουμε:

$AZ^{2}+Z\Gamma^{2}=A\Gamma^{2}\Leftrightarrow6^{2}+Z\Gamma^{2}=10^{2}\Leftrightarrow36+Z\Gamma^{2}=100\Leftrightarrow Z\Gamma^{2}=64\Leftrightarrow Z\Gamma=\sqrt{64}\Leftrightarrow Z\Gamma=8$

Ομοίως και για το

αφού

είναι διάμεσος και το $AB\Gamma$ ισοσκελές.Άρα $Z\Delta=Z\Gamma-\Delta\Gamma\Leftrightarrow8-5=3$ και $EZ=BZ-BE\Leftrightarrow8-3=5$

Επομένως, $\Delta E=EZ+Z\Delta\Leftrightarrow5+3=8$

raf616 · #102

sidchris έγραψε:Άσκηση 61η
Δίνεται η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(3,0) και Β(0,4).Να βρεθεί
α)Το μήκος του ΑΒ
β)Η ευθεία ΑΒ
γ)Η ευθεία που είναι παράλληλη στην ΑΒ και που διέρχεται από την αρχή των αξόνων

α)Για να βρούμε το μήκος

θα εφαρμόσουμε Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγνωνο AOB

. Έχουμε:
$AB^{2}=3^{2}+4^{2} \Leftrightarrow AB^{2}=9+16 \Leftrightarrow AB^{2}=2 5\Leftrightarrow AB=\sqrt{25} \Leftrightarrow AB=5$

β)Η εξίσωση της ευθείας θα είναι -4x-3y=-12

γ)Αρχικά, θα λύσουμε την εξίσωση ως προς

. Έχουμε:
$-4x-3y=-12\Leftrightarrow -3y=4x-12 \Leftrightarrow y=\frac{4x}{-3}+\frac{-12}{-3} \Leftrightarrow y=-\frac{4}{3}x+4$

Εφόσον η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων θα έχει τον γενικό τύπο y=ax

. Άρα, αφού είναι παράλληλη στην παραπάνω ευθεία θα έχει την ίδια κλίση και επομένως θα είναι $y=-\frac{4}{3}x$

sidchris · #103

Άσκηση 64η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδό του τετραπλεύρου $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )}$

sidchris · #104

Άσκηση 65η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδό του τετραπλεύρου $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )}$

sidchris · #105

Άσκηση 66η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδό του ορθογωνίου $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )}$

sidchris · #106

Άσκηση 67η
Στο παρακάτω σχήμα $\displaystyle{{\rm M}\Lambda = 1}$ .Να βρεθεί το εμβαδό του κανονικού οκταγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta }$

sidchris · #107

Άσκηση 68η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 17}$ και $\displaystyle{{\rm B}{\rm E} = 8}$ .Να βρεθεί το εμβαδό του τετραγώνου $\displaystyle{\Theta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}}$

raf616 · #108

sidchris έγραψε:Άσκηση 27η

Στο παραπάνω σχήμα να βρεθεί η γωνιά $E\hat{A}Z$

Αρχικά βλέπουμε πως η πλευρά $B\Gamma$ είναι ίση με 1 + 4 + 8 = 13

. Έπειτα, βρίσκουμε πως το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο αφού ισχύει το αντίστροφο του Π.Θ, δηλ:

$AB^2 + A\Gamma^2 = B\Gamma^2 \Leftrightarrow5^2 + 12^2 = 13^2 \Leftrightarrow 25 + 144 = 169 \Leftrightarrow 169 = 169$ , κάτι που ισχύει.

Ονομάζουμε για ευκολία την $E\hat{A}Z = x$ , την $E\hat{A}B = \omega$ και $Z\hat{A}\Gamma = y$

Έχουμε: $\omega + x + y = 90^{o}$ . Το τρίγωνο ZBA

είναι ισοσκελές αφού BZ = AB = 5

καθώς και το τρίγωνο $\Gamma E A$ αφού $E\Gamma = A\Gamma = 12$ . Επομένως, $\Gamma\hat{E}A = x + y$ και $B\hat{Z}A = \omega + x$

Όμως $x + y = \hat{B} + \omega$ , αφού η $\Gamma\hat{E}A$ είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου ABE

και $\omega + x = \hat{\Gamma} + y$ αφού η BZA

είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου $AZ\Gamma$ .

Έχουμε: $\hat{B} + \hat{\Gamma} = 90^{o}$ αφού το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ορθογώνιο.Άρα, με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:

$(\omega + x) + (x + y) = (\hat{\Gamma} + y) + (\hat{B} + \omega) \Leftrightarrow \omega + x + x + y = \hat{\Gamma} + y + \hat{B} + \omega \Leftrightarrow \omega + y + 2x = y + \omega + 90^{o} \Leftrightarrow 2x + \omega + y -y -\omega = 90^{o}\Leftrightarrow 2x = 90^{o} \Leftrightarrow x = \frac{90^{o}}{2} \Leftrightarrow x = 45^{o}$

Επομένως, η $x = E\hat{A}Z = 45^{o}$

Γιώργος Απόκης · #109

sidchris έγραψε:Άσκηση 68η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 17}$ και $\displaystyle{{\rm B}{\rm E} = 8}$ .Να βρεθεί το εμβαδό του τετραγώνου $\displaystyle{\Theta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}}$

Από το Πυθαγόρειο στο $\displaystyle{AEB}$ έχουμε : $\displaystyle{AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15}$ .

Τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{AEB,A\Theta\Delta}$ είναι ίσα (υποτείνουσα και μία κάθετη αντίστοιχα ίσες) άρα $\displaystyle{A\Theta=BE=8}$ .

Επομένως, $\displaystyle{\Theta E=AE-A\Theta=15-8=7}$ και το εμβαδόν είναι : $\displaystyle{7^2=49}$

Γιώργος Απόκης · #110

sidchris έγραψε:Άσκηση 67η
Στο παρακάτω σχήμα $\displaystyle{{\rm M}\Lambda = 1}$ .Να βρεθεί το εμβαδό του κανονικού οκταγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta }$

Έστω $\displaystyle{AM=B\Lambda=x}$ και $\displaystyle{AB=y}$ . Αφού το οκτάγωνο είναι κανονικό, έχουμε : $\displaystyle{B\Gamma=y}$ . Από το Πυθαγόρειο στο $\displaystyle{B\Gamma \Lambda}$ έχουμε :

$\displaystyle{y=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}=x\sqrt{2}}$ και άρα $\displaystyle{M\Lambda=x+y+x=2x+x\sqrt{2}=x(2+\sqrt{2})}$ . Όμως $\displaystyle{M\Lambda=1}$

άρα $\displaystyle{x=\frac{1}{2+\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}=\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}}$ . Το τρίγωνο $\displaystyle{B\Gamma\Lambda}$ έχει εμβαδόν

$\displaystyle{\frac{1}{2}x\cdot x=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{(2-\sqrt{2})^2}{8}=\frac{6-4\sqrt{2}}{8}=\frac{3-2\sqrt{2}}{4}}$ και άρα το εμβαδόν του οκταγώνου είναι :

$\displaystyle{E=E_{M\Lambda K I}-4E_{B\Gamma \Lambda}=1^2-4\cdot\frac{3-2\sqrt{2}}{4}=1-(3-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2 }$

sidchris · #111

Άσκηση 68η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το μήκος της πλευράς $\displaystyle{\Delta {\rm Z}}$ αν $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z} = 2\sqrt 2 }$

sidchris · #112

Άσκηση 69η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$

sidchris · #113

Άσκηση 70η
Στο διπλανό σχήμα είναι $\displaystyle{{\rm{{\rm A}\Delta = 5x - 3}}{\rm{,\Delta \Gamma = 7x - 5}}}$ και $\displaystyle{\varepsilon \varphi \hat \Gamma = \frac{3}{4}}$ .Να βρεθούν
α)Το $\displaystyle{x}$
β)Το $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \hat \Gamma }$
γ)Το $\displaystyle{{\rm B}\Delta }$
δ)Το $\displaystyle{{\rm{(}}{\rm A}{\rm B}\Gamma )}$

sidchris · #114

Άσκηση 71η
α)Στο διπλανό σχήμα να βρεθούν οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών $\displaystyle{\hat {\rm B},\hat \Gamma }$
β)Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης $\displaystyle{\eta {\mu ^2}{\rm B} - \sigma \upsilon {\nu ^2}{\rm B} + \eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu \Gamma - \varepsilon \varphi {\rm B}\varepsilon \varphi \Gamma }$
γ)Να δείξετε ότι $\frac{{\eta \mu \hat {\rm B}}}{{\sigma \upsilon \nu \hat {\rm B}}} = \varepsilon \varphi \hat {\rm B}$

sidchris · #115

Άσκηση 72η
Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = 21c{m^2}}$ η $\displaystyle{{\rm B}\Delta = 60mm}$ και η $\displaystyle{AB = 40mm}$ .Να βρεθούν:
α)Το εμβαδό του $\displaystyle{{\rm{A}}{\rm B}\Delta }$
β)Το εμβαδό του $\displaystyle{\Delta {\rm B}\Gamma }$
γ)Η πλευρά $\displaystyle{\Gamma {\rm E}}$

sidchris · #116

Άσκηση 73η
α) Έστω οι παραστάσεις Α= $\frac{{3x - 2}}{3} - \frac{1}{2}$ και Β= $\frac{{5x - 1}}{6} - 1$ αν η παράσταση $\displaystyle{{\rm A}}$ είναι θετική και η παράσταση $\displaystyle{{\rm B}}$ είναι μικρότερη του

τότε να βρεθεί ο ακαιρεος $\displaystyle{{\rm{x}}}$
β) Είναι το

λύση της ανίσωση $\frac{{3\kappa - x}}{3} - \frac{{x\kappa - 1}}{x} > 1$ ;

sidchris · #117

Άσκηση 74η
Και μια πολύ δύσκολη...
Στο παρακάτω τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ η $\displaystyle{{\rm A}\Delta = \sqrt 3 }$ και $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} + \Delta \Gamma = 2{\rm A}\Delta }$ .Αν $\displaystyle{{\rm E}}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ να βρεθεί το μήκος της $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$
Αφιερωμένη στον Δημητρη

jim.jt · #118

sidchris έγραψε:Άσκηση 74η
Και μια πολύ δύσκολη...
Στο παρακάτω τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ η $\displaystyle{{\rm A}\Delta = \sqrt 3 }$ και $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} + \Delta \Gamma = 2{\rm A}\Delta }$ .Αν $\displaystyle{{\rm E}}$ είναι το μέσο της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ να βρεθεί το μήκος της $\displaystyle{\Delta {\rm E}}$
Αφιερωμένη στον Δημητρη

Προφανώς $AB//\Gamma\Delta$ .

Θεωρούμε το συμμετρικό σημείο,

του $\Delta$ ως προς την ευθεία $B\Gamma$ .

Έτσι στο τρίγωνο $A\Delta Z$ , $A\Delta=\sqrt{3}$ , $AZ=AB+\Gamma\Delta=2\sqrt{3}$ και $\angle\Delta AZ=60^{\circ}$ .

Όμως $\frac{\Delta A}{AZ}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}=\sigma \upsilon \nu 60^{\circ}$ , άρα το τρίγωνο $A\Delta Z$ είναι ορθογώνιο στο $\Delta$ .

Έτσι από πυθαγόρειο στο τρίγωνο $A\Delta Z$ , παίρνουμε $\Delta Z=3$ και λόγω της συμμετρίας $\DeltaE=\frac{3}{2}$ .

sidchris · #119

Άσκηση 75η
Να δειχθεί οτι το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ ειναι ορθογώνιο στο

sidchris · #120

Άσκηση 76η
Στο παρακάτω σχήμα το $\displaystyle{\Delta }$ είναι το μέσο της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .Να βρεθει το $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση