Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

#1

Έχουμε πολλές φορές εκφράσει απορίες για ορισμένα θεωρητικά κενά του σχολικού βιβλίου. Σε μια τελευταία λοιπόν συνάντηση με το Σχολικό μας Σύμβουλο, μας είπε ότι προτίθεται να προωθήσει τέτοια κενά στο ΠΙ για να συνταχθούν οι σχετικές προς τα σχολεία οδηγίες, ώστε στη σχολική τάξη να επισημαίνονται από το διδάσκοντα και να μη βρισκόμαστε εδώ και 13 χρόνια στο σημείο εκίνησης .Μένει αυτά τα κενά να του τα επισημάνουμε .Είχα ξεκινήσει και παλιότερα μια τέτοια προσπάθεια, αλλά ο σύνδεσμος με το ΠΙ έπαψε να υπάρχει και δεν προχώρησε το θέμα.

Λοιπόν,ένα κατάλληλο έγγραφο με οδηγίες για τη Γ ' Κατεύθυνση, θα μπορούσε( με τη σχετική επιμέλεια φυσικά) να περιέχει και τα εξής :

- Να διδαχθεί στην τάξη ως θεωρία η άσκηση (....) με το κριτήριο του συζυγούς και στη συνέχεια αυτή να αποτελεί βασική θωρία για τη λύση ανάλογων ασκήσεων

- Στον ορισμό της ''1-1''

συνάρτησης αλλά και της γνησίως μονότονης συνάρτησης , να τονιστεί στους μαθητές ότι η αναφερόμενη συνεπαγωγή ισχύει και ως ισοδυναμία .

$f(a)=f(b)\Leftrightarrow a=b$ , $f(a)<f(b) \Leftrightarrow a<b (a>b)$ , ανάλογα με το είδος της μονοτονίας.

Οι ισοδυναμίες αυτές είναι απαραίτητες για τη λύση εξισώσεων ή ανισώσεων .

- Να τονισθεί ότι από τον τρόπο εισαγωγής του άπειρου ορίου προκύπτει πχ ότι :

Αν f(x)>g(x)

και $\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } g(x)=+\infty$ , τότε : $\mathop {\lim }\limits_{x \to \, + \infty } f(x)$

(Ανάλογα για για άλλα σημεία συσσώρευσης.Εϊναι το θέμα που συζητήσαμε στο viewtopic.php?f=52&p=64888#p64888 )

..................................................................

Για να μην τα γράφω ο ίδιος, καλύτερα να πείτε τι θα θέλατε να εξασφαλιστεί ως θεωρία από το σχολικό βιβλίο και να καθήσω με το Σύμβουλο μια μέρα να τα συντάξουμε καλά, ώστε να είναι έτοιμα για αποδοχή και προώθηση στα σχολεία από τη νέα χρονιά.Ελπίζουμε κάποιος να μας ακούσει !

Χρόνια Πολλά !

Μπάμπης

KARKAR · #2

Δύο "αιτήματα" :

1) Να τονίζεται , ως παρατήρηση , ότι η μορφή $\displaystyle \frac{\infty}{0}$ , δεν είναι απροσδιόριστη

2) Η $e^x\geq x+1$ να γίνει εφαρμογή ( ίσως και πριν την $lnx\leq x-1$

apotin · #3

Στο ορισμένο ολοκλήρωμα είναι πολύ χρήσιμο να διδαχθεί η άσκηση $\displaystyle{10}$ (ερωτ. i & ii) σελ. $\displaystyle{353}$

KARKAR · #4

Είναι η πρόταση : Αν $\displaystyle f(x)\geq g(x), \tau \dot{o}\tau \epsilon \int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq \int_{a}^{b}{g(x)dx}$

#5

Αν $\displaystyle{\rm f}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και γνησίως αύξουσα σε αυτό, τότε $\displaystyle{\rm f'(x)\geq 0~\forall x\in \Delta .}$

#6

Μπάμπη Χρόνια Πολλά. Καλή ιδέα. Ίσως έχουν ενδιαφέρον και όσα είχαμε πει εδώ (και στις παραπομπές): viewtopic.php?f=61&t=3810&p=20621#p20621
Μαυρογιάννης

#7

Ένας σχετικός προβληματισμός

viewtopic.php?f=6&t=4249

#8

margk έγραψε:H μορφή $\frac{\propto }{0}$ δεν είναι απροσδιοριστία;

Δεν είναι.Κρατάμε τον αριθμητή μόνο του και με πλευρικά ή όχι συνήθως παίρνουμε όριο το $+\infty$ ή το $-\infty$ .

Μπάμπης

#9

margk έγραψε:Άρα δεν είναι μονοσήμαντο το αποτέλεσμα. Επίσης μπορεί και να μην υπάρχει το όριο
π.χ το $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln\left|x \right|}{x}$
Άλλωστε και το $\frac{\alpha }{0}$ δίνει άπειρο ή ότι δεν υπάρχει το όριο , αλλά το λέμε απροσδιοριστία.
Εκτός και αν κάνω κάποιο λάθος.

Οι απροσδιόριστες μορφές είναι κάτι άλλο.Η παραπάνω δεν είναι, αφού για παράδειγμα με $a \neq 0$ δεν πρόκειται ποτέ να πάρουμε όριο πραγματικό αριθμό.

Αλλά τότε πώς να είναι απροσδιόριστη μορφή ; Με άλλα λόγια απροσδιόριστη μορφή λέμε εκείνη τη μορφή που είναι δυνατό να δώσει ως όριο οποιοδήποτε αριθμό αλλά και άπειρο (αλλά και ίσως να μην υπάρχει). Δες το βιβλίο ποιες είναι οι βασικές σχολικές απροσδιόριστες μορφές.

Καλή σου μέρα !

#10

matha έγραψε:Αν $\displaystyle{\rm f}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και γνησίως αύξουσα σε αυτό, τότε $\displaystyle{\rm f'(x)\geq 0~\forall x\in \Delta .}$

Θάνο, λες να αξίζει να βάλουμε και το αντίστοιχο με την κυρτότητα ;

Μπάμπης

#11

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
matha έγραψε:Αν $\displaystyle{\rm f}$ παραγωγίσιμη συνάρτηση σε διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ και γνησίως αύξουσα σε αυτό, τότε $\displaystyle{\rm f'(x)\geq 0~\forall x\in \Delta .}$
Θάνο, λες να αξίζει να βάλουμε και το αντίστοιχο με την κυρτότητα ;

Μπάμπης

Μπάμπη τον Θάνο ρωτάς αλλά λέω κι εγώ πως ναι αξίζει.

Επιπλέον, δεν καταλαβαίνω γιατί αυτό, από τον KARKAR:

KARKAR έγραψε:Είναι η πρόταση : Αν $\displaystyle f(x)\geq g(x), \tau \dot{o}\tau \epsilon \int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq \int_{a}^{b}{g(x)dx}$

είναι ασαφές.

Καλημέρα!

kostas_zervos · #12

Να ενσωματωθεί σαν θεώρημα ή σαν παρατήρηση ότι αν η

είναι συνεχής στο $[\alpha,\beta]$ και $f(\alpha)\cdot\f(\beta)\leq 0$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in[\alpha,\beta]$ τέτοιο , ώστε $f(\xi)=0$ .

Θωμάς Ποδηματάς · #13

Εγώ πάλι πιστεύω ότι πρέπει να μπει στη θεωρία, ο τύπος :

$\displaystyle{ \left( {\int_{g\left( x \right)}^{h\left( x \right)} {f\left( t \right)dt} } \right)^\prime = f\left( {h\left( x \right)} \right)h'\left( x \right) - f\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right) }$

για να μην κάνουμε την απόδειξη κάθε φορά...

Φιλικά

Θωμάς

#14

Μόλις ρώτησα και μια συνάδελφο στο σχολείο να μου πει κάτι κι αυτή κάτι .Μου είπε λοιπόν να συμπεριληφθεί στις οδηγίες η επέκταση των πράξεων με τα άπειρα :

$(+5)\cdot (-\infty )=-\infty$

και όλα τα σχετικά. Αφού οι μαθητές το γράφουν στις πανελλαδικές και γίνεται από όλους δεκτό(και καλά κάνει !), γιατί να μην έχουμε και τυπικά το δικαίωμα να λέμε στους μαθητές να το χρησιμοποιούν, αν τους διευκολύνει;

#15

΄Ενα ένα ακόμη που χρησιμοποιείται ευρέως .
Αν η

είναι συνεχής και (γνησίως) αύξουσα στα $\left( -\infty ,\beta \right),\left( \alpha ,\,\,+\infty \right)$ τότε υπάρχουν τα όρια $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\underset{x\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ , $\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ , $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$ .
Όμοια αν είναι (γνησίως) φθίνουσα και συνεχής .

Μετά από π. μήνυμα του Νίκου Ζ. Αφαιρώ την συνέχεια.

Αν η

είναι (γνησίως) αύξουσα στα $\left( -\infty ,\beta \right),\left( \alpha ,\,\,+\infty \right)$ τότε υπάρχουν τα όρια $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x),\underset{x\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ , $\underset{x\to {{\alpha }^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$ , $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$ .
Όμοια αν είναι (γνησίως) φθίνουσα .

Θωμάς Ποδηματάς · #16

Η συνέχεια και η παραγωγισιμότητα της αντίστροφης $f^{-1}$ ; Υπήρχε στο σχολικό των δεσμών και νομίζω ότι από το κόψε-ράψε των βιβλίων της Δ' Δέσμης και της Α' Δέσμης "παράπεσε"

...

Φιλικά

Θωμάς

pana1333 · #17

Καλησπέρα και από εμένα.

Σελ 259. Τα τοπικά μέγιστα και τοπικά ελάχιστα της f λέγονται ακρότατα αυτής. Νομίζω χρειάζεται διόρθωση. Λέγονται τοπικά ακρότατα.

Σελ 186. Ο ορισμός του ορίου της ακολουθίας είναι εντός ύλης ενώ ο ορισμός του ορίου εκτός. Νομίζω αν δεν μπει στην ύλη ο ορισμός του ορίου, ο ορισμός του ορίου της ακολουθίας θα πρέπει να βγει εκτός. Δεν βρίσκω λόγο να υπάρχει.

Σελ. 279-281 ορίζεται η ευθεία $y=\lambda x+\beta$ ως ασύμπτωτη (οριζόντια - πλάγια). Ενώ στην εφαρμογή σελ 281 ζητείται να βρεθούν οι ασύμπτωτες.....και βρίσκει και την κατακόρυφη!!!
Ως εδώ ίσως μου πείτε όλα καλά.....

Δηλαδή σε ερώτηση δώστε τον ορισμό της ασύμπτωτης ο μαθητής θα δώσει τον ορισμό της ασύμπτωτης (πλάγιας - οριζόντιας) και όχι της κατακόρυφης; ενώ αν δοθεί άσκηση βρείτε τις ασύμπτωτες... ο μαθητής θα εξετάσει και για πλάγιες- οριζόντιες και για κατακόρυφες;

Το βρίσκω λίγο μπερδεμένο......

KARKAR · #18

chris_gatos έγραψε: Επιπλέον, δεν καταλαβαίνω γιατί αυτό, από τον KARKAR:

KARKAR έγραψε:Είναι η πρόταση : Αν $\displaystyle f(x)\geq g(x), \tau \dot{o}\tau \epsilon \int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq \int_{a}^{b}{g(x)dx}$
είναι ασαφές .

Χρήστο δεν μου είναι σαφές , τι χαρακτηρίζεις ασαφές . Η συγκεκριμένη πρόταση ( με ολοκληρωμένη διατύπωση φυσικά ) ,

στο σχολικό βιβλίο είναι άσκηση , συνεπώς ο μαθητής τυπικά δεν μπορεί να τη χρησιμοποιήσει αναπόδεικτη .

Λοιπόν θα μπορούσε σαν υποσημείωση , ας πούμε στο σημείο που γράφει (σελ. 330): Αν $f(x)\geq 0$ , τότε $\displaystyle \int_{a}^{b}{f(x)dx}\geq 0$

να προσθέτει σαν πόρισμα και την υπό συζήτηση πρόταση ...

#19

Θωμάς Ποδηματάς έγραψε:Η συνέχεια και η παραγωγισιμότητα της αντίστροφης $f^{-1}$ ; Υπήρχε στο σχολικό των δεσμών και νομίζω ότι από το κόψε-ράψε των βιβλίων της Δ' Δέσμης και της Α' Δέσμης "παράπεσε" ...

Φιλικά

Θωμάς

Θωμά, κατανοώ το σκεπτικό σου, αλλά εδώ καλύτερα να μην επεκτείνουμε το πεδίο των θεμάτων. Καλύτερα να μείνει ως έχει για να μην έχουμε και θέματα στις εξετάσεις.Η θεωρία είναι ήδη μεγάλη. Ας περιοριστούμε απλά σε διευκρίνηση των ήδη υπαρχόντων θεμάτων , χωρίς να ανοίξουμε νέα μέτωπα.
Φοβάμαι άλλωστε πως ούτε ο σύμβουλος θα δεχθεί να προτείνει πρόσθεση νέων θεωρημάτων, πόσο μάλλον το ΠΙ.
Εγώ θα το θέσω όμως στη συζήτηση και ό,τι βγει.

Μπάμπης

ji2mada2006 · #20

Ελπίζω να δεχτείτε και ένα εκπρόθεσμο:
<<Έστω

μία συνεχής και '' 1-1

'' συνάρτηση σε ένα διάστημα $\Delta$ , (όχι ένωση διαστημάτων), τότε θα είναι γνησίως μονότονη στο $\Delta$ .>>

*****************
edit από Γενικούς Συντονιστές

Παρακαλούμε να γράφετε μόνο σε $\LaTeX$

Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Re: Θεωρητικά κενά του σχολικού και εξετάσεις στη Γ΄ΚΑΤ

Μέλη σε σύνδεση