Διοφαντική

#1

Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων $\left(x,y,z \right)$ για τις οποίες ισχύει $\left(x+y \right)\left(1+xy \right)=2^z$

Γ.-Σ. Σμυρλής · #2

Κατ´ ἀρχάς τό 1+xy

ἀποτελεῖ δύναμη τοῦ 2, καί συνεπῶς x,y

ὑποχρεωτικῶς περιττοί.

Ἄν x=y

, τότε

δύναμη τοῦ 2, ὁπότε x=1

. (Διότι, ἄν

περιττός, τότε $x^2\equiv 1 \mod 8$ .)
Ἔχομε σ᾽ αύτήν τήν περίπτωση τήν τριάδα
$\displaystyle{ x=y=1, \quad z=2. }$

Ὑποθέτομε λοιπόν, λόγω συμμετρίας, ὅτι x<y

.

Ἄν

, τότε διά κάθε ἀκέραιο $\kappa\ge 2$ , ἡ τριάδα

$\displaystyle{ x=1, \quad y=2^{\kappa}-1, \quad z=2\kappa, }$

ἀποτελεῖ λύση.

Ἔστω τώρα ὅτι $3\le x<y$ , καί $x+y=2^\kappa$ , $1+xy=2^\lambda$ . Τότε $\lambda>\kappa\ge 3$ καί

$\displaystyle{ 2^\lambda=1+xy=1+x(2^\kappa-x)=x2^\kappa-(x^2-1), }$

ὁπότε ὁ x^2-1

διαιρεῖται ἀπό τόν $2^\kappa$ , καί συνεπῶς:

α. Εἴτε ὁ $2^{\kappa-1}$ διαιρεῖ τόν x-1

,

β. Εἴτε ὁ $2^{\kappa-1}$ διαιρεῖ τόν x+1

.

Ἄν ὁ $2^{\kappa-1}$ διαιρεῖ τόν x-1

, τότε ὑπάρχει $\mu$ θετικός ἀκέραιος ὥστε

$\displaystyle{ x=1+\mu 2^{\kappa-1}\ge 1+ 2^{\kappa-1}, }$

καί συνεπῶς

$\displaystyle{ y=2^\kappa-x \le 2^\kappa-2^{\kappa-1}-1 \,=\, 2^{\kappa-1}-1 <x. }$

Ἄτοπο.

Ἄν ὁ $2^{\kappa-1}$ διαιρεῖ τόν

, τότε ὑπάρχει $\mu$ θετικός ἀκέραιος ὥστε

$\displaystyle{ x=\mu 2^{\kappa-1}-1. }$

Ὑποχρεωτικῶς $\mu=1$ , ἄλλως x>y

. Ὁπότε

$\displaystyle{ x=2^{\kappa-1}-1, \quad y=2^{\kappa-1}+1, \quad z=3\kappa-2, }$

ὅπου $\kappa$ ἀκέραιος μεγαλύτερος τοῦ 2.

Διοφαντική

Διοφαντική

Re: Διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση