Συλλογή Ασκήσεων

jim.jt · #121

sidchris έγραψε:Άσκηση 76η
Στο παρακάτω σχήμα το $\displaystyle{\Delta }$ είναι το μέσο της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .Να βρεθει το $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$

$B \Delta=\frac{B\Gamma }{2}=8$ .

Φέρνουμε το ύψος

. Με συνημίτονο $60^{\circ}$ και μετά Π.Θ. στο τρίγωνο ABH

, παίρνουμε $AH=3\sqrt{3}$ και BH=3

.

Έτσι $\Delta H=5$ .

Τέλος με Π.Θ. στο τρίγωνο $A\DElta H$ παίρνουμε $A\Delta=7$ .

sidchris · #122

Άσκηση 77η
Πολλή Δύσκολη
Αν στο παρακάτω σχήμα το

είναι το μέσο του $\displaystyle{{\rm B}\Delta }$ να δειχθεί οτι $\displaystyle{\Delta \Gamma {\rm E}}$ ορθογώνιο ισοσκελές

sidchris · #123

Άσκηση 78η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδο του κύκλου

sidchris · #124

Άσκηση 79η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το μήκος της βάσης $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$

gavrilos · #125

Για την 77 (με ύλη Γ' Γυμνασίου γιατί με ύλη Β' δεν μου ήρθε καμία ιδέα-αν και υποψιάζομαι τριγωνομετρία).

: Γεωμετρια mathematica_15.PNG (13.87 KiB) Προβλήθηκε 1620 φορές

Φέρνουμε από το $\displaystyle{B}$ κάθετη στην ευθεία $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ και την τέμνει στο $\displaystyle{K}$ .

Ισχύει προφανώς ότι $\displaystyle{B\Gamma K \simeq A\Gamma \Delta}$ .

(Για όσους μαθητές δεν γνωρίζουν την ομοιότητα τριγώνων,λέμε ότι δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν έστω και δύο γωνίες ίσες-άρα και την τρίτη.Τότε οι αντίστοιχες πλευρές τους είναι ανάλογες).

Τα δύο παραπάνω τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητος $\displaystyle{\frac{\sqrt{5}}{5}}$ .(έχουμε βρει την $\displaystyle{\Delta \Gamma}$ με πυθαγόρειο θεώρημα στο $\displaystyle{A\Gamma \Delta}$ ).

Άρα εφαρμόζοντας τις αναλογίες βλέπουμε ότι $\displaystyle{\Gamma K = \Delta \Gamma , \ BK=\Gamma \Delta +\Gamma K}$ οπότε το τρίγωνο $\displaystyle{B\Delta K}$ είναι ορθογώνιο ισοσκελές απ' όπου προκύπτει το ζητούμενο.

Θα επανέλθω με "επιτρεπόμενη" λύση (αν προλάβω φυσικά τον φανταστικό

jim.jt).

jim.jt · #126

Εγώ δεν έχω δυστυχώς επιτρεπόμενη λύση

Φέρνουμε την μεσοπαράλληλη από το

που τέμνει την

στο

, κι έτσι

,

και $\Gamma Z=4$ .

Με πυθαγόρεια στα τρίγωνα $A\Gamma \Delta$ , $\Gamma EZ$ , BEZ

παίρνουμε αντίστοιχα $\Gamma \Delta =2\sqrt{5},\Gamma E=2\sqrt{5},BE=\Delta E=2\sqrt{10}$ .

Με αντίστροφο Πυθαγόρειο βρίσκουμε το τρίγωνο $\Gamma \Delta E$ ορθογώνιο, και επειδή $\Gamma \Delta=\Gamma E$ , προκύπτει ότι $\angle \Gamma \Delta E=45^{\circ}$ .

gavrilos · #127

Επανέρχομαι με την λύση που υποσχέθηκα(γρήγορα γιατί καταφτάνει ο Δημήτρης)..

: Γεωμετρια mathematica_15(2).PNG (13.08 KiB) Προβλήθηκε 1606 φορές

Φέρνουμε το 'υψος $\displaystyle{E'\Gamma}$ του τριγώνου $\displaystyle{\Delta \Gamma E}$ .

Η $\displaystyle{\Delta B}$ είναι ίση με $\displaystyle{4\sqrt{10}}$ από το πυθαγόρειο θεώρημα.

$\displaystyle{(\Delta \Gamma B)=20 \Leftrightarrow \frac{\Delta B \cdot E'\Gamma}{2}=20 \Leftrightarrow 2\sqrt{10}\cdot E'\Gamma=20 \Leftrightarrow E'\Gamma=\sqrt{10}$ .

Άρα εφόσον $\displaystyle{\Delta B=4\sqrt{10}}$ και $\displaystyle{E}$ το μέσο της $\displaystyle{\Delta B}$ θα ισχύει

$\displaystyle{\Delta E=2\sqrt{10}}$ .Όμως δείξαμε ότι $\displaystyle{E'\Gamma=\sqrt{10}}$ άρα η $\displaystyle{E'\Gamma}$ είναι και

διάμεσος κι έτσι το τρίγωνο $\displaystyle{\Delta \Gamma E}$ είναι ισοσκελές κι επειδή $\displaystyle{E'\Gamma=\Delta E'=EE'}$ τα τρίγωνα

$\displaystyle{\Delta E'\Gamma \ , \ EE'\Gamma}$ είναι ορθογώνια ισοσκελή και μ' αυτή τη διαπίστωση το ζητούμενο αποδείχθηκε.

**Τελικά δεν υπήρχε απαραίτητη τριγωνομετρία.

Εdit:Δεν ήταν καθόλου καλή η ιδέα να ονομάσω τα σημεία Ε και Ε'

jim.jt · #128

gavrilos έγραψε:Επανέρχομαι με την λύση που υποσχέθηκα(γρήγορα γιατί καταφτάνει ο Δημήτρης)..

Όποιος βιάζεται σκοντάφτει, όπως λέει και η παροιμία. Έχεις κάνει κάποια λάθη με τους συμβολισμούς.

Φιλικά,
Δημήτρης

gavrilos · #129

Τους τόνους στο Ε δεν εννοούσες Δημήτρη;Αν ναι,διορθώθηκαν.Και όντως βιαζόμουν και με πρόλαβε..η παροιμία.

sidchris · #130

Άσκηση 80η
Στο παρακάτω σχήμα η

είναι διάμεσος του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = 10}$ να δειχθεί ότι το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ορθογωνιο

sidchris · #131

Άσκηση 81η
Δίνεται τραπέζιο με $\displaystyle{\Delta \Gamma = {\rm A}{\rm B} + 7}$ και $\displaystyle{{\rm A}\Delta = 5}$ .Αν οι βάσεις του τραπεζίου είναι ακέραιοι αριθμοί και $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta ) = \frac{{45}}{2}}$ να βρεθεί η $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$

sidchris · #132

Άσκηση 82η
Αν ενα τρίγωνο έχει πλευρές με μήκη $\displaystyle{\overline {1x} ,\overline {x3} ,\overline {x5} }$ και η περίμετρος του είναι 144 να δειχθεί ότι είναι ορθογώνιο

sidchris · #133

Άσκηση 83η
Αν ενα τρίγωνο έχει πλευρές με μήκη $\displaystyle{\overline {3x} ,\overline {y0} ,\overline {yx} }$ και η περίμετρος του είναι 208 να δειχθεί ότι είναι ορθογώνιο

Γιώργος Απόκης · #134

sidchris έγραψε:Άσκηση 82η
Αν ενα τρίγωνο έχει πλευρές με μήκη $\displaystyle{\overline {1x} ,\overline {x3} ,\overline {x5} }$ και η περίμετρος του είναι 144 να δειχθεί ότι είναι ορθογώνιο

Οι πλευρές του τριγώνου έχουν μήκη $\displaystyle{10+x,~10x+3,~10x+5}$ . Αφού η περίμετρος είναι $\displaystyle{144}$ έχουμε :

$\displaystyle{10+x+10x+3+10x+5=144}$

$\displaystyle{21x=126}$

$\displaystyle{x=6}$

και άρα οι πλευρές έχουν μήκη : $\displaystyle{16,63,65}$ . Έχουμε : $\displaystyle{65^2=4225,~63^2+16^2=3969+256=4225}$ δηλαδή $\displaystyle{65^2=63^2+16^2}$

άρα από το αντίστροφο του Πυθαγόρειου το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Γιώργος Απόκης · #135

sidchris έγραψε:Άσκηση 83η
Αν ενα τρίγωνο έχει πλευρές με μήκη $\displaystyle{\overline {3x} ,\overline {y0} ,\overline {yx} }$ και η περίμετρος του είναι 208 να δειχθεί ότι είναι ορθογώνιο

Οι πλευρές του τριγώνου έχουν μήκη $\displaystyle{30+x,~10y,~10y+x}$ . Αφού η περίμετρος είναι $\displaystyle{208}$ έχουμε :

$\displaystyle{30+x+10y+10y+x=208}$

$\displaystyle{2x+20y=178}$

$\displaystyle{x+10y=89}$

$\displaystyle{\overline{yx}=89}$

άρα $\displaystyle{x=9,~y=8}$

και άρα οι πλευρές έχουν μήκη : $\displaystyle{39,80,89}$ . Έχουμε : $\displaystyle{89^2=7921,~80^2+39^2=6400+1521=7921}$

δηλαδή $\displaystyle{89^2=80^2+39^2}$ άρα από το αντίστροφο του Πυθαγόρειου, το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.

Γιώργος Απόκης · #136

sidchris έγραψε:Άσκηση 78η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδο του κύκλου

Έστω $\displaystyle{OM}$ το απόστημα της χορδής $\displaystyle{AB}$ , τότε $\displaystyle{AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{8+2}{2}=5}$ και $\displaystyle{M\Gamma=MB-B\Gamma=5-2=3}$

Aπό το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{OM\Gamma}$ έχουμε : $\displaystyle{OM=\sqrt{O\Gamma^2-M\Gamma^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4}$

και από το Πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{OMA}$ έχουμε : $\displaystyle{r=AO=\sqrt{OM^2+AM^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}}$ .

Eπομένως το εμβαδόν είναι $\displaystyle{E=\pi r^2=41\pi}$ .

Επεξεργασία (10:05) : Πρόσθεσα το αρχικό σχήμα

sidchris · #137

Άσκηση 84η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το ύψος και το εμβαδο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$

sidchris · #138

Άσκηση 85η (αφιερωμένη στη Φαιη)
α)Να λυθεί η εξίσωση
$\displaystyle{\frac{{3x - 2}}{3} - \frac{{2(x - 1)}}{5} = \frac{{3(x - 2)}}{{15}} + \frac{4}{3}}$
β)Αν η εξίσωση και οι ανισωσεις
$\displaystyle{\frac{{ax + 10}}{2} + 2a \le 2x + 3a \le x(x + a) - 5 + a}$ έχουν κοινές λύσεις να βρεθεί το

γ)Η ευθεία $\displaystyle{y = ax - \beta }$ με $\displaystyle{\beta > 0}$ σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm O}{\rm B}}$ με $\displaystyle{({\rm A}{\rm O}{\rm B}) = 1}$ .Να βρεθεί το $\displaystyle{\beta }$
δ)Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση του κέντρου

από την ευθεία $\displaystyle{y = ax - \beta }$ με $\displaystyle{\beta > 0}$
ε)Να δειχθεί οτι $\displaystyle{{\left( {\frac{{2\alpha }}{3}} \right)^\beta } - {\left( {\frac{\alpha }{\beta }} \right)^2} - {\left( {\frac{\beta }{3}} \right)^\alpha } = \frac{1}{3}}$

sidchris · #139

Άσκηση 86η (αφιερωμένη στη Φαιη)
Δίνεται ένα τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ ειναι υψος.Αν $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\alpha ^2} + 1}$ , $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ , $\displaystyle{{\rm A}\Delta = {\alpha ^2} - \alpha + 1}$ , $\displaystyle{\Delta \Gamma = 3\beta - 2}$ με $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ $\displaystyle{(\alpha \ne 0)}$ οι ελάχιστοι δυνατοί ακέραιοι , να βρεθεί η γωνία $\displaystyle{{\rm A}}$

sidchris · #140

Άσκηση 87η
Στο παρακάτω σχήμα η $\displaystyle{{\rm A}\Gamma = 2\sqrt {13} }$ και $\displaystyle{\eta \mu \hat \Gamma = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}}$ .Αν το $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm B}}$ είναι ισοσκελές να βρεθεί το μήκος της $\displaystyle{\Delta \Gamma }$

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση