Τριγωνομετρική πρόσκληση 2

#1

Να αποδείξετε με τη γυμνασιακή ύλη ότι

$\sin^2 40^o+\sin40^o\sin20^o+\sin^2 20^o=\dfrac{3}{4}$

jim.jt · #2

Αρκετά δύσκολη!

Θεωρούμε τρίγωνο ABC

με $\angle A=120^{\circ}, \angle B=40^{\circ} ,\angle C=20^{\circ}$ .

Φέρνουμε το ύψος $\upsilon _1$ από το

προς την

και το ύψος $\upsilon _2$ από το

προς την

.

Για το $\upsilon _1$ έχουμε με συνημίτονο $60^{\circ}$ , $\upsilon _1=\frac{\sqrt{3}c}{2a}$ και για το $\upsilon _2$ έχουμε ομοίως $\upsilon _2=\frac{\sqrt{3}b}{2a}$ .

Με την βοήθεια των παραπάνω βρίσκουμε ότι

$sin20^{\circ} =\frac{\upsilon _1}{a}=\frac{\sqrt{3}c}{2a}$ και

$sin40^{\circ} =\frac{\upsilon _2}{a}=\frac{\sqrt{3}b}{2a}$ .

Έτσι η ισότητα μετά από πράξεις γίνεται

$\frac{3(b^2+c^2+bc)}{4a^2}=\frac{3}{4}$ ή a^2=b^2+c^2+bc

, το οποίο ισχύει από το θεώρημα συνημίτονων.

#3

Μπράβο Δημήτρη!

Τριγωνομετρική πρόσκληση 2

Τριγωνομετρική πρόσκληση 2

Re: Τριγωνομετρική πρόσκληση 2

Re: Τριγωνομετρική πρόσκληση 2

Μέλη σε σύνδεση