Συλλογή Ασκήσεων

#141

sidchris έγραψε:Άσκηση 86η (αφιερωμένη στη Φαιη)
Δίνεται ένα τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ ειναι υψος.Αν $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\alpha ^2} + 1}$ , $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ , $\displaystyle{{\rm A}\Delta = {\alpha ^2} - \alpha + 1}$ , $\displaystyle{\Delta \Gamma = 3\beta - 2}$ με $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ $\displaystyle{(\alpha \ne 0)}$ οι ελάχιστοι δυνατοί ακέραιοι , να βρεθεί η γωνία $\displaystyle{{\rm A}}$

Χρήστο, ευρηματικές οι ασκήσεις σου. Μακάρι να τις έχουν πάρει είδηση όσοι μαθητές είναι στο

και να ασχολούνται.

Για την συγκεκριμένη, παρατηρούμε ότι αρχικά πρέπει να είναι $\displaystyle{a^2 -a+1\leq a^2 +1 \Rightarrow a\geq 0}$ και αφού ο $\displaystyle{a}$ είναι ο ελάχιστος ακέραιος (διάφορος του μηδενός), άρα πρέπει $\displaystyle{a=1}$ .
Eπίσης, πρέπει $\displaystyle{3\beta -2 \geq 0 \Rightarrow \beta \geq \frac{2}{3}}$ και αφού και ο $\displaystyle{\beta}$ πρέπει να είναι ο ελάχιστος ακέραιος, άρα $\displaystyle{\beta =1}$ .
Έτσι, έχουμε ότι $\displaystyle{AB=2 , A\Delta =1 , \Delta \Gamma =1}$ και άρα το τρίγωνο $\displaystyle{A\Delta \Gamma}$ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και άρα $\displaystyle{\widehat{\Delta A\Gamma}=45^{o}}$
Eπίσης, από το ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{A\Delta \Gamma}$ , έχουμε:
$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \widehat{BA\Delta}=\frac{A\Delta}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BA\Delta}=60^{o}}$
Άρα $\displaystyle{\widehat{A}=60^{o}+45^{o}=105^{o}}$ .

sidchris · #142

Άσκηση 88η
Στο παρακάτω σχήμα το

είναι μέσο της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ να βρεθεί η $\displaystyle{\Delta \Gamma }$

sidchris · #143

Άσκηση 89η
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ με πλευρές διαδοχικούς άρτιους ακεραίους αριθμούς .Αν $\displaystyle{\eta \mu \hat {\rm B} = \frac{4}{5},\eta \mu \hat \Gamma = \frac{3}{5}}$ να δειχθεί ότι το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο

#144

sidchris έγραψε:Άσκηση 89η
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ με πλευρές διαδοχικούς άρτιους ακεραίους αριθμούς .Αν $\displaystyle{\eta \mu \hat {\rm B} = \frac{4}{5},\eta \mu \hat \Gamma = \frac{3}{5}}$ να δειχθεί ότι το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο

Ευχαριστούμε τον Χρήστο για το πλούσιο υλικό που διαρκώς ανανεώνει σ' αυτόν τον φάκελο.

Για ετούτην την ενδιαφέρουσα άσκηση θα ήθελα να γράψω δυο λόγια.
Ιδέα μου είναι ότι ξεπερνά το επίπεδο της Β΄ Γυμνασίου, εκτός αν υπάρχει κάτι πολύ απλό που δεν το βλέπω! Θα ήθελα να δω μια λύση που να βρίσκεται στο επίπεδο της ύλης της Β Γυμνασίου.

Έστω $\displaystyle{\nu ,\;\nu + 2,\;\nu + 4}$ οι πλευρές του, όπου $\displaystyle{\nu }$ άρτιος φυσικός αριθμός.

Από την Τριγωνική Ανισότητα πρέπει να είναι $\displaystyle{\nu + \nu + 2 > \nu + 4 \Leftrightarrow \nu > 2}$

Για να είναι ορθογώνιο το τρίγωνο πρέπει να είναι

$\displaystyle{{\left( {\nu + 4} \right)^2} = {\nu ^2} + {\left( {\nu + 2} \right)^2} \Leftrightarrow {\nu ^2} + 8\nu + 16 = 2{\nu ^2} + 4\nu + 4 \Leftrightarrow {\nu ^2} - 4\nu - 12 = 0}$

Από όπου βρίσκουμε $\displaystyle{\nu = 2}$ που απορρίπτεται ή $\displaystyle{\nu = 6}$

Τότε οι πλευρές του είναι $\displaystyle{6,\;8,\;10}$ .

Θέτοντας $\displaystyle{\gamma = 6,\;\beta = 8,\;\alpha = 10}$ , πράγματι είναι $\displaystyle{\eta \mu {\rm B} = \frac{4}{5},\;\eta \mu \Gamma = \frac{3}{5}}$

Αποδείξαμε ότι υπάρχει τρίγωνο ορθογώνιο που ικανοποιεί την υπόθεση. Όμως, δεν έχουμε αποδείξει ότι κάθε τρίγωνο που ικανοποιεί τα δεδομένα της υπόθεσης είναι αναγκαστικά ορθογώνιο.

Ας προσεγγίσουμε την άσκηση με άλλο τρόπο:

: 11-04-2013 Β Γυμνασίου.jpg (6.73 KiB) Προβλήθηκε 1742 φορές

Αφού $\displaystyle{\eta \mu {\rm B} = \frac{4}{5},\;\eta \mu \Gamma = \frac{3}{5}}$ οι γωνίες $\displaystyle{\widehat {\rm B},\;\;\widehat \Gamma }$ είναι οξείες.

Οπότε, αν φέρουμε το ύψος $\displaystyle{{\rm A}\Delta = \upsilon }$ στη $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ , το $\displaystyle{\Delta }$ θα είναι στο εσωτερικό του $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .

Τότε $\displaystyle{\eta \mu {\rm B} = \frac{\upsilon }{\gamma } \Leftrightarrow \upsilon = \frac{4}{5}\gamma }$ και $\displaystyle{\eta \mu \Gamma = \frac{\upsilon }{\beta } \Leftrightarrow \upsilon = \frac{3}{5}\beta }$

Οπότε $\displaystyle{\frac{3}{5}\beta = \frac{4}{5}\gamma \Leftrightarrow \gamma = \frac{3}{4}\beta }$

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις για τη διάταξη των πλευρών του:

(1) Έστω $\displaystyle{\gamma < \beta < \alpha }$ , οπότε $\displaystyle{\gamma = \nu ,\;\;\beta = \nu + 2,\;\;\;\alpha = \nu + 4}$
Τότε $\displaystyle{\nu = \frac{3}{4}\left( {\nu + 2} \right) \Leftrightarrow 4\nu = 3\nu + 6 \Leftrightarrow \nu = 6}$ δηλαδή $\displaystyle{\gamma = 6,\;\beta = 8,\;\alpha = 10}$ , που είναι ορθογώνιο και ικανοποιεί την υπόθεση.

(2) Έστω $\displaystyle{\gamma < \alpha < \beta }$ , οπότε $\displaystyle{\gamma = \nu ,\;\;\alpha = \nu + 2,\;\;\;\beta = \nu + 4}$
Τότε $\displaystyle{\nu = \frac{3}{4}\left( {\nu + 4} \right) \Leftrightarrow 4\nu = 3\nu + 12 \Leftrightarrow \nu = 12}$ δηλαδή $\displaystyle{\gamma = 12,\;\alpha = 14,\;\beta = 16}$ , που δεν είναι ορθογώνιο και δεν ικανοποιεί την υπόθεση.

(3) Έστω $\displaystyle{\alpha < \gamma < \beta }$ , οπότε $\displaystyle{\alpha = \nu ,\;\;\gamma = \nu + 2,\;\;\;\beta = \nu + 4}$
Τότε $\displaystyle{\nu + 2 = \frac{3}{4}\left( {\nu + 4} \right) \Leftrightarrow 4\nu + 8 = 3\nu + 12 \Leftrightarrow \nu = 4}$ δηλαδή $\displaystyle{\alpha = 4,\;\gamma = 6,\;\beta = 8}$ , που δεν είναι ορθογώνιο και δεν ικανοποιεί την υπόθεση.

Οπότε το τρίγωνο που ικανοποιεί την υπόθεση είναι αναγκαστικά ορθογώνιο.

ΣΧΟΛΙΟ: Με Ν. Ημιτόνων (υπάρχει στο βιβλίο Γ΄ Γυμνασίου) στο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ βρίσκουμε απ' ευθείας ότι: $\displaystyle{\frac{\beta }{{\eta \mu {\rm B}}} = \frac{\gamma }{{\eta \mu \Gamma }} \Leftrightarrow \frac{\beta }{{\frac{4}{5}}} = \frac{\gamma }{{\frac{3}{5}}} \Leftrightarrow \gamma = \frac{3}{4}\beta }$

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #145

Γιωργο πολύ ολοκληρωμενη η λύση σου

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
sidchris έγραψε:Άσκηση 89η
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ με πλευρές διαδοχικούς άρτιους ακεραίους αριθμούς .Αν $\displaystyle{\eta \mu \hat {\rm B} = \frac{4}{5},\eta \mu \hat \Gamma = \frac{3}{5}}$ να δειχθεί ότι το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο

11-04-2013 Β Γυμνασίου.jpg
Αφού $\displaystyle{\eta \mu {\rm B} = \frac{4}{5},\;\eta \mu \Gamma = \frac{3}{5}}$ οι γωνίες $\displaystyle{\widehat {\rm B},\;\;\widehat \Gamma }$ είναι οξείες.

Οπότε, αν φέρουμε το ύψος $\displaystyle{{\rm A}\Delta = \upsilon }$ στη $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ , το $\displaystyle{\Delta }$ θα είναι στο εσωτερικό του $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .

Τότε $\displaystyle{\eta \mu {\rm B} = \frac{\upsilon }{\gamma } \Leftrightarrow \upsilon = \frac{4}{5}\gamma }$ και $\displaystyle{\eta \mu \Gamma = \frac{\upsilon }{\beta } \Leftrightarrow \upsilon = \frac{3}{5}\beta }$

Οπότε $\displaystyle{\frac{3}{5}\beta = \frac{4}{5}\gamma \Leftrightarrow \gamma = \frac{3}{4}\beta }$

Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις για τη διάταξη των πλευρών του:
.....

Για να αποφύγουμε την διερεύνση
$\displaystyle{\eta \mu {\rm B} = \frac{\upsilon }{\gamma } \Leftrightarrow \upsilon = \frac{4}{5}\gamma }$ και με πυθαγόρειο θεώρημα στο τριγωνο ΑΒΔ έχουμε $\displaystyle B\Delta = \frac{3}{4}\upsilon }$
και $\displaystyle{\eta \mu \Gamma = \frac{\upsilon }{\beta } \Leftrightarrow \upsilon = \frac{3}{5}\beta }$ ομοίως $\displaystyle \Gamma \Delta = \frac{4}{3}\upsilon }$

Επίσης ΒΓ = ΒΔ + ΓΔ $\displaystyle \Leftrightarrow \alpha =B\Delta +\Gamma \Delta = \frac{3}{4}\upsilon+ \frac{4}{3}\upsilon } = \frac{25}{12}\upsilon$

$\displaystyle{ \gamma = \frac{15}{12}\upsilon }$

$\displaystyle{ \beta = \frac{20}{12}\upsilon }$

οπότε είμαστε στην περίπτωση (1)

sidchris · #146

Άσκηση 90η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι η ακτίνα του κύκλου είναι

να βρεθεί το

sidchris · #147

Άσκηση 91η
Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{{\rm{{\rm A}{\rm B}\Gamma }}}$ που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες. $\displaystyle{{\rm{{\rm A}\Gamma = 13}}}$ και $\displaystyle{{\rm{{\rm M}\Gamma = 4}}\sqrt {10} }$ , όπου $\displaystyle{{\rm M}}$ είναι το μέσο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Το ύψος από $\displaystyle{\Gamma }$ δεν τέμνει την $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , αλλά την προέκταση της $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , και αυτό το ύψος έχει μήκος

sidchris · #148

Άσκηση 92η (αφιερωμένη στη Φαιη)
α)Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{4 - y = \sqrt {\frac{{3y - 2}}{2} - y - 1} }$
β) Δίνεται η σχέση $\displaystyle{\frac{{x - a}}{2} + \frac{{x + a}}{3} \ge 1}$ .Αν η ελάχιστη τιμή του

είναι $\displaystyle{\frac{{3a + 7}}{{10}}}$ να βρεθεί το

γ)Να βρεθεί το πλήθος των ψηφίων του αριθμού $\displaystyle{{y^{4a + 2}} \cdot {a^{10y}}}$

sidchris · #149

Άσκηση 93η
Δίνεται τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ με $\displaystyle{\hat {\rm A} = {90^o}}$ , $\displaystyle{\hat \Gamma = {165^o}}$ και η $\displaystyle{{\hat {\rm B}}}$ ειναι τα $\displaystyle{\frac{4}{3}}$ της $\displaystyle{\hat \Delta }$ .Αν $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma = 2}$ να βρεθεί η $\displaystyle{\Gamma \Delta }$

Γιώργος Απόκης · #150

sidchris έγραψε:Άσκηση 92η
α)Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{4 - y = \sqrt {\frac{{3y - 2}}{2} - y - 1} }$

Το υπόρριζο γράφεται : $\displaystyle{\frac{3y-2}{2}-y-1=\frac{3y-2-(2y+2)}{2}=\frac{y-4}{2}}$ .

Επομένως, για να ορίζεται η ρίζα, πρέπει $\displaystyle{y\geq 4}$ . To 2o μέλος της εξίσωσης είναι μη αρνητικός αριθμός, άρα

πρέπει να ισχύει το ίδιο για το 1ο, δηλαδή : $\displaystyle{y\leq 4}$ . Tελικά, πρέπει $\displaystyle{y=4}$ , τιμή που επαληθεύει την εξίσωση.

#151

sidchris έγραψε:Άσκηση 90η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι η ακτίνα του κύκλου είναι να βρεθεί το

Ψάχνω, αλλά δεν βρίσκω λύση συμβατή με το επίπεδο και τις γνώσεις των μαθητών της Β΄ Γυμνασίου.
Θα χαιρόμουν να έβλεπα κι εδώ συμβατή λύση!

: 15-04-2013 Β Γυμνασίου a.jpg (15.63 KiB) Προβλήθηκε 1515 φορές

Από το σημείο

φέρνουμε τη διάμετρο DE = 10

. Τότε

, αφού ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ADE

.

Όμως, είναι και AB = 8

, οπότε το

ταυτίζεται με το

.

Πράγματι, η $\displaystyle{\widehat {ABE}}$ βαίνει στο μη κυρτό τόξο $\displaystyle{\mathop {ADE}\limits^ \cap }$ , ενώ η $\displaystyle{\widehat {BEA}}$ στο κυρτό $\displaystyle{\mathop {BA}\limits^ \cap }$ , οπότε δεν είναι ίσες, άρα δεν μπορεί να υπάρχει ισοσκελές τρίγωνο ABE

.

Άρα η

είναι διάμετρος, οπότε από Πυθ. Θεώρημα στο BDC

είναι $\displaystyle{CE = \sqrt {{{10}^2} - {4^2}} = \sqrt {84} }$

Η δικαιολόγηση της μοναδικότητας του σημείου δεν με ικανοποιεί. Υπάρχει κάτι άλλο;
Αν δεν υπήρχε περιορισμός στη Β΄ Γυμνασίου, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε εργαλεία μέτρησης τριγώνου, όπως π.χ. παρακάτω:

: 15-04-2013 Β Γυμνασίου b.jpg (15.39 KiB) Προβλήθηκε 1515 φορές

Από Ν. Συνημιτόνων στο DOA

είναι
$\displaystyle{D{A^2} = 2{R^2} - 2{R^2} \cdot \sigma \upsilon \nu {{\rm O}_1} \Leftrightarrow 36 = 50 - 50 \cdot \sigma \upsilon \nu {{\rm O}_1} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu {{\rm O}_1} = \frac{{14}}{{50}}}$

Ομοίως στο BOA

είναι
$\displaystyle{A{B^2} = 2{R^2} - 2{R^2} \cdot \sigma \upsilon \nu {{\rm O}_2} \Leftrightarrow 64 = 50 - 50 \cdot \sigma \upsilon \nu {{\rm O}_2} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu {{\rm O}_2} = - \frac{{14}}{{50}}}$

Οπότε $\displaystyle{\widehat {{O_2}} = 180^\circ - \widehat {{O_1}}}$ , δηλαδή

διάμετρος.
Έτσι, από Πυθ. Θεώρημα στο BDC

είναι $\displaystyle{CE = \sqrt {{{10}^2} - {4^2}} = \sqrt {84} }$

ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ (για χρήση σε επίπεδο πάνω από Β΄ Γυμνασίου).
Υπολογίστε το μήκος της

και της

, αν

sidchris · #152

Άσκηση 94η
Στο παρακάτω τετράπλευρο δίνεται οτι $\displaystyle{\varepsilon \varphi \varphi = \frac{{10}}{9}}$ να βρεθεί η $\displaystyle{\Gamma \Delta }$

sidchris · #153

Άσκηση 95η
Στο παρακάτω τετράπλευρο δινεται ότι $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = 2\sqrt 3 }$ .Να βρεθεί το εμβαδο του

sidchris · #154

Άσκηση 96η
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm{AB\Gamma }}}$ και σημείο $\displaystyle{{\rm{\Delta }}}$ της βάσης $\displaystyle{{\rm{B\Gamma }}}$ .Αν $\displaystyle{{\rm{A\Gamma = 3}}{\rm{, A\Delta = 3}}{\rm{, B\Delta = 8}}}$ και $\displaystyle{{\rm{\Gamma \Delta = 1}}}$ .Να βρεθεί το μήκος της $\displaystyle{{\rm{AB}}}$

sidchris · #155

Άσκηση 97η
Στο παρακάτω σχήμα η $\displaystyle{{\rm E}\Delta = 6\sqrt 3 }$ , $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{\Delta {\rm E}\parallel {\rm B}\Gamma }$ .Να βρεθεί το εμβαδο του σκιασμένου χωρίου

sidchris · #156

Άσκηση 98η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί η γωνία $\displaystyle{{\rm Z}\hat {\rm E}\Delta }$

Γιώργος Απόκης · #157

sidchris έγραψε:Άσκηση 95η
Στο παρακάτω τετράπλευρο δινεται ότι $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = 2\sqrt 3 }$ .Να βρεθεί το εμβαδο του

Θεωρούμε σημείο $\displaystyle{S}$ της $\displaystyle{A\Delta}$ με $\displaystyle{BS // \Gamma \Delta}$ και την $\displaystyle{ST\perp \Gamma \Delta }$ .

Tότε $\displaystyle{\widehat{BSA}=60^o}$ ως εντός, εντός και επί τα αυτά με την $\displaystyle{\hat \Delta}$ . Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle{ABS}$ είναι ισόπλευρο

με πλευρά $\displaystyle{6}$ . Aν $\displaystyle{BK}$ το ύψος του, τότε από το τρίγωνο $\displaystyle{ABK}$ έχουμε : $\displaystyle{\eta \mu 60^o=\frac{BK}{6}}$ άρα $\displaystyle{BK=3\sqrt{3}}$ .

To τετράπλευρο $\displaystyle{B\Gamma T S}$ είναι ορθογώνιο $(BS // \Gamma \Delta, ~ST // B\Gamma,~ \hat \Gamma=90^o)$ επομένως $ST=B\Gamma=2\sqrt{3}$ .

Στο τρίγωνο $\displaystyle{ST\Delta}$ έχουμε : $\displaystyle{\epsilon \phi 60^o=\frac{2\sqrt{3}}{T\Delta}}$ άρα $\displaystyle{T\Delta=2}$ . To εμβαδόν ισούται με :

$\displaystyle{E=E_{ABS}+E_{B\Gamma TS}+E_{ST\Delta}=\frac{AS\cdot BK}{2}+B\Gamma\cdot BS+\frac{ST\cdot T\Delta}{2}=\frac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2}+2\sqrt{3}\cdot 6+\frac{2\sqrt{3}\cdot 2}{2}=}$

$\displaystyle{=9\sqrt{3}+12\sqrt{3}+2\sqrt{3}=23\sqrt{3}}$

gavrilos · #158

sidchris έγραψε:Άσκηση 88η
Στο παρακάτω σχήμα το είναι μέσο της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ να βρεθεί η $\displaystyle{\Delta \Gamma }$

Η πλευρά $\displaystyle{A\Gamma}$ σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα είναι ίση με $\displaystyle{3\sqrt{3}}$ .

Το συνημίτονο της γωνίας $\displaystyle{\Gamma}$ είναι σταθερό οπότε αφού αυτή είναι κοινή γωνία των δύο τριγώνων δημιουργούμε την αναλογία

$\displaystyle{\frac{3}{\Delta \Gamma}=\frac{A\Gamma}{B\Gamma} \Leftrightarrow \Delta \Gamma =\frac{18}{3\sqrt{3}}=2\sqrt{3}}$ .

jim.jt · #159

Γιώργος Απόκης έγραψε:
sidchris έγραψε:Άσκηση 95η
Στο παρακάτω τετράπλευρο δινεται ότι $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = 2\sqrt 3 }$ .Να βρεθεί το εμβαδο του
Θεωρούμε σημείο $\displaystyle{S}$ της $\displaystyle{A\Delta}$ με $\displaystyle{BS // \Gamma \Delta}$ και την $\displaystyle{ST\perp \Gamma \Delta }$ .

Tότε $\displaystyle{\widehat{BSA}=60^o}$ ως εντός, εντός και επί τα αυτά με την $\displaystyle{\hat \Delta}$ . Επομένως το τρίγωνο $\displaystyle{ABS}$ είναι ισόπλευρο

με πλευρά $\displaystyle{6}$ . Aν $\displaystyle{BK}$ το ύψος του, τότε από το τρίγωνο $\displaystyle{ABK}$ έχουμε : $\displaystyle{\eta \mu 60^o=\frac{BK}{6}}$ άρα $\displaystyle{BK=3\sqrt{3}}$ .

To τετράπλευρο $\displaystyle{B\Gamma T S}$ είναι ορθογώνιο $(BS // \Gamma \Delta, ~ST // B\Gamma,~ \hat \Gamma=90^o)$ επομένως $ST=B\Gamma=2\sqrt{3}$ .

Στο τρίγωνο $\displaystyle{ST\Delta}$ έχουμε : $\displaystyle{\epsilon \phi 60^o=\frac{2\sqrt{3}}{T\Delta}}$ άρα $\displaystyle{T\Delta=2}$ . To εμβαδόν ισούται με :

$\displaystyle{E=E_{ABS}+E_{B\Gamma TS}+E_{ST\Delta}=\frac{AS\cdot BK}{2}+B\Gamma\cdot BS+\frac{ST\cdot T\Delta}{2}=\frac{6\cdot 3\sqrt{3}}{2}+2\sqrt{3}\cdot 6+\frac{2\sqrt{3}\cdot 2}{2}=}$

$\displaystyle{=9\sqrt{3}+12\sqrt{3}+2\sqrt{3}=23\sqrt{3}}$

Άλλος τρόπος είναι να προεκτείνουμε τις

και $\Gamma \Delta$ , ώστε να σχηματιστεί ισόπλευρο.

Μετά με τριγωνομετρία βρίσκουμε την πλευρά του ισόπλευρου και με αυτό, το εμβαδόν του και το εμβαδόν του μικρού σχηματιζόμενου τριγώνου.

Τέλος αφαιρούμε τα δύο τελευταία και βρίσκουμε το ζητούμενο εμβαδόν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

gavrilos · #160

sidchris έγραψε:Άσκηση 91η
Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle{{\rm{{\rm A}{\rm B}\Gamma }}}$ που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες. $\displaystyle{{\rm{{\rm A}\Gamma = 13}}}$ και $\displaystyle{{\rm{{\rm M}\Gamma = 4}}\sqrt {10} }$ , όπου $\displaystyle{{\rm M}}$ είναι το μέσο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ . Το ύψος από $\displaystyle{\Gamma }$ δεν τέμνει την $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , αλλά την προέκταση της $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ , και αυτό το ύψος έχει μήκος

: Γεωμετρια mathematica_19.PNG (16.65 KiB) Προβλήθηκε 1344 φορές

Με πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{MCD}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{MD=4}$ .
Με πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{ADC}$ έχουμε ότι $\displaystyle{AD=5}$ κι επομένως $\displaystyle{AB=2 \Leftrightarrow (ABC)=12}$ .

**Βασικά χρειάζεται μια διευκρίνιση παραπάνω στο θέμα της προέκτασης της πλευράς(εννοώ προς τα που πρέπει να την προεκτείνουμε).Παρ' ολ' αυτά αν επιλέξουμε να προεκτείνουμε προς το Α το πρόβλημα δεν "βγαίνει" οπότε δε δημιουργείται θέμα.

Φιλικά,
gavrilos

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση