Μια συναρτησιακή ακόμη...

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+f(x+y))=(f(x))^2+f(x)+y,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x^2+f(x+y))=(f(x))^2+f(x)+y,}$ (1) για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Η $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{x=0}$ δίνει $\displaystyle{f(f(y))=(f(0))^2+f(0)+y}$ $\displaystyle{(2)}$ , για κάθε $\displaystyle{y \in \mathbb{R}}$

Από την $\displaystyle{(2)}$ συμπεραίνουμε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ και επί του $\displaystyle{\Bbb{R}}$

Έστω $\displaystyle{x_0 \in \Bbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x_0)=0}$ .

Τότε η $\displaystyle{(1)}$ για $\displaystyle{x=x_0}$ και $\displaystyle{y=0}$ δίνει $\displaystyle{f(x_0^2)=0}$ , άρα, λόγω του $\displaystyle{1-1}$ έχουμε

$\displaystyle{x_0^2=x_0 \Rightarrow x_0=0 \vee x_0=1}$

Αν $\displaystyle{f(1)=0}$ , τότε $\displaystyle{f(f(1))=(f(0))^2+f(0)+1 \Rightarrow f(0)=(f(0))^2+f(0)+1 \Rightarrow (f(0))^2=-1}$ , άτοπο.

Άρα $\displaystyle{f(0)=0}$ , οπότε η $\displaystyle{(2)}$ γράφεται $\displaystyle{f(f(x))=x}$ $\displaystyle{(3)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$

Για $\displaystyle{y=-x}$ η $\displaystyle{(1)}$ δίνει $\displaystyle{f(x^2)+x=(f(x))^2+f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ , άρα η $\displaystyle{(1)}$ γίνεται

$\displaystyle{f(x^2+f(x+y))=f(x^2)+x+y}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in \Bbb{R}}$ $\displaystyle{(4)}$

Και επειδή κάθε πραγματικός $\displaystyle{z}$ μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle{x+y}$ με το $\displaystyle{x}$ δεδομένο και το $\displaystyle{y}$ μεταβλητό

η $\displaystyle{(4)}$ γράφεται $\displaystyle{f(x+f(z))=f(x)+z}$ για κάθε $\displaystyle{x \ge 0}$ και για κάθε $\displaystyle{z \in \Bbb{R}}$

και για $\displaystyle{f(z)}$ στη θέση του $\displaystyle{z}$ έχουμε $\displaystyle{f(x+z)=f(x)+f(z)}$ $\displaystyle{(5)}$ για κάθε $\displaystyle{x \ge 0}$ και για κάθε $\displaystyle{z \in \Bbb{R}}$ .

H $\displaystyle{(5)}$ για $\displaystyle{z=-x}$ δίνει $\displaystyle{f(-x)=-f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x \ge 0}$

Η σχέση $\displaystyle{f(x^2)=(f(x))^2+f(x)-x}$ $\displaystyle{(6)}$ για $\displaystyle{x=-x}$ δίνει $\displaystyle{f(x^2)=(f(x))^2-f(x)+x}$ και με πρόσθεση κατά μέλη

$\displaystyle{f(x^2)=(f(x))^2}$ $\displaystyle{(7)}$

Συνεπώς $\displaystyle{f(x^2+z)=(f(x))^2+f(z) \ge f(z)}$ , άρα η $\displaystyle{f}$ είναι αύξουσα και επειδή είναι και προσθετική

στους μη αρνητικούς θα είναι $\displaystyle{f(x)=f(1)x}$ για κάθε $\displaystyle{x \ge 0}$

Η $\displaystyle{(6)}$ για $\displaystyle{x=1}$ δίνει $\displaystyle{f(1)=(f(1))^2+f(1)-1 \Rightarrow f(1)=\pm 1}$ και λόγω της $\displaystyle{(7)}$

$\displaystyle{f(1)=1}$

Άρα $\displaystyle{f(x)=x}$ για κάθε $\displaystyle{x \ge 0}$

$\displaystyle{f(x)=-f(-x)=-(-x)=x}$ για κάθε $\displaystyle{x<0}$ , άρα $\displaystyle{\boxed{f(x)=x}}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{R}}$ που αληθεύει την $\displaystyle{(1)}$

#3

Η άσκηση είναι από εδώ:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=524689

Μια συναρτησιακή ακόμη...

Μια συναρτησιακή ακόμη...

Re: Μια συναρτησιακή ακόμη...

Re: Μια συναρτησιακή ακόμη...

Μέλη σε σύνδεση