Άλλη μια...

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ 2f(x+y+z)+f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x)=1+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2++4(xy+yz+zx) ,}$ για κάθε $x,y,z \in \mathbb{R}.$

Bill K · #2

$x=y=z=0 \Rightarrow 3f^2(0)+2f(0)-1=0$

Άρα $f(0)= \frac{1}{3}$ ή f(0)=-1

Αν $f(0)= \frac{1}{3}$ για y=z=0

στην αρχική έχουμε $\displaystyle 2f(x)+\frac{2}{3}f(x)+ \frac{1}{9}=1 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{3}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Αν f(0)=-1

για

προκύπτει $\displaystyle 2f(x)+f(x)f(y)+f(y)f(-y)+f(x)f(-y)=(y^2-1)^2+2y^2(x^2-1), (1)$

Θέτω x=y=1

στην

και προκύπτει $2f(1)+2f(1)f(-1)+f^2(1)=0 \Rightarrow f(1)=0$ ή f(1)=-2f(-1)-2

Αν

για

στην

έχουμε

Τότε η

γίνεται

και για

Για

έχουμε

ή

Αν

θέτοντας στην (1) y=1

έχουμε

για κάθε $x \in \mathbb{R}$

Αν f(-1)=-2

θέτουμε πάλι στην (1), y=1

και προκύπτει 2(x^2-1)=0

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ άτοπο.

Αν f(1)=-2f(-1)-2

για

στην

προκύπτει $2f(-1)+2f(-1)f(1)+f^2(-1)=0 \Rightarrow f(-1)=0$ ή $f(-1)=-\frac{2}{3}$

Για f(-1)=0,f(1)=-2

θέτουμε στην (1), y=1

και οδηγούμαστε πάλι σε άτοπο.
Για $f(-1)=f(1)= -\frac{2}{3}$ θέτουμε στην (1), y=1

και έχουμε $\displaystyle \frac{2}{3}f(x)+ \frac{4}{9}=2(x^2-1) \Rightarrow f(x)=\frac{18x^2-22}{6}$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ η οποία όμως απορρίπτεται αφού $f(0)=-\frac{22}{6}$

Άρα οι συναρτήσεις που ικανοποιούν τη δοσμένη σχέση είναι η $\displaystyle f(x)= \frac{1}{3}$ και f(x)=x^2-1

με $x \in \mathbb{R}$

#3

Η άσκηση είναι από εδώ:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=527792

Άλλη μια...

Άλλη μια...

Re: Άλλη μια...

Re: Άλλη μια...

Μέλη σε σύνδεση