Να βρεθούν οι συναρτήσεις

Σ. Διονύσης · #1

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h:\mathhbb{R^{+}}\rightarrow \mathhbb{R}}$ τέτοιες ώστε:
$\displaystyle{f(x+y)+g(xy)=h(x)+h(y)}$ $\displaystyle{,\forall x,y\in\mathhbb{R^{+}}$

Υ.Γ:Δεν έχω λύση

Ανδρέας Πούλος · #2

Δεν "βλέπω φως στο τούνελ".
Για παράδειγμα πιθανές λύσεις για κάθε

θετικό μπορεί να είναι οι συναρτήσεις με τύπους:

1. f(x) = 1

,

.
2.

,

.
3.

,

.
4.

,

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Σ. Διονύσης · #3

Δυστυχώς ούτε εγώ βλέπω κάτι. Γενικότερα μια τριάδα συναρτήσεων που επαληθεύει τη σχέση είναι και η:
$\displaystyle{f(x)=g(x)=h(x)=c }$ , x>0

$,c\in\mathbb{R}$

Βέβαια υπάρχει και μια ενδιαφέρουσα...συμμετρία.Δηλαδή:
$\displaystyle{x=y\Rightarrow f(2x)+g(x^2)=2h(x)}$ αλλά από εκεί και πέρα...

Ευχαριστώ που ασχοληθήκατε,
Διονύσης

Bill K · #4

Μια προσπάθεια

Για $y\rightarrow0^+ \Rightarrow f(x)=h(x)+h(0)-g(0)$

Άρα η αρχική σχέση γίνεται h(x+y)-h(x)-h(y)=-g(xy)+g(0)-h(0)=G(xy), (1)

Θέτω σε αυτήν όπου

το

οπότε

Ομοίως και με τις άλλες μεταβλητές οπότε προκύπτει G(xy+xz)+G(yz)=G(xy+yz)+G(xz)=G(xz+yz)+G(xy)

Έστω

τέτοια ώστε xy=a, yz=b, xz=c

Τότε

και παίρνουμε $c\rightarrow 0^+$
άρα $G(a+b)+G(0)=G(a)+G(b) \Rightarrow G(x)=ax+b$ με b=G(0)=-h(0)

Άρα από την (1)

έχουμε

Επίσης από την (1)

προκύπτει

Έστω $H(x)=h(x)-\frac{a}{2}x^2+b$ .
Παρατηρούμε ότι $\displaystyle H(x+y)=H(x)+H(y) \Rightarrow H(x)=cx \Rightarrow h(x)=\frac{a}{2}x^2+cx-b$

Δηλαδή $\displaystyle h(x)=\frac{a}{2}x^2+cx+h(0)$

Τότε $\displaystyle f(x)=\frac{a}{2}x^2+cx+2h(0)-g(0)$ και g(x)=-ax+g(0)

με

και $c=h(1)-\frac{a}{2}-h(0)=h(1)-\frac{g(0)-g(1)}{2}-h(0)$

οι οποίες επαληθεύουν τη δοσμένη σχέση.

Alex1994 · #5

Bill K η πρώτη γραμμή είναι λάθος, δεν μπορείς να υποθέσεις ότι τα όρια $lim_{y \rightarrow 0} h(y)$ υπάρχουν. Τσέκαρε ότι έχουμε και λύσεις όπως f(x)=1, g(x)=1+lnx, h(x)=1+lnx

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Σ. Διονύσης · #6

Επαναφορά για μια πλήρη λύση.

kostas_zervos · #7

Σ. Διονύσης έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f,g,h:\mathhbb{R^{+}}\rightarrow \mathhbb{R}}$ τέτοιες ώστε:
$\displaystyle{f(x+y)+g(xy)=h(x)+h(y)}$ $\displaystyle{,\forall x,y\in\mathhbb{R^{+}}$

Υ.Γ:Δεν έχω λύση

Είναι πολύ περίεργη .

Εκτός από τις τριάδες που αναφέρει ο Αντρέας:

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Δεν "βλέπω φως στο τούνελ".
Για παράδειγμα πιθανές λύσεις για κάθε θετικό μπορεί να είναι οι συναρτήσεις με τύπους:

1. , , .
2. , , .
3. , , .
4. , ,

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Υπάρχουν και οι
$f(x)=x\;,\;g(x)=lnx\;,\;h(x)=x+ln x$ και γενικά $f(x)=ax\;,\;g(x)=c\cdot \log_bx\;,\;h(x)=ax+c\cdot\log_bx$
$f(x)=\dfrac{1}{x^2}\;,\;g(x)=-\dfrac{2}{x}\;,\;h(x)=\dfrac{1}{x^2}$
........................

Να βρεθούν οι συναρτήσεις

Να βρεθούν οι συναρτήσεις

Re: Να βρεθούν οι συναρτήσεις

Re: Να βρεθούν οι συναρτήσεις

Re: Να βρεθούν οι συναρτήσεις

Re: Να βρεθούν οι συναρτήσεις

Re: Να βρεθούν οι συναρτήσεις

Re: Να βρεθούν οι συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση