Συλλογή Ασκήσεων

jim.jt · #161

gavrilos έγραψε:**Βασικά χρειάζεται μια διευκρίνιση παραπάνω στο θέμα της προέκτασης της πλευράς(εννοώ προς τα που πρέπει να την προεκτείνουμε).Παρ' ολ' αυτά αν επιλέξουμε να προεκτείνουμε προς το Α το πρόβλημα δεν "βγαίνει" οπότε δε δημιουργείται θέμα.

Η κάθετη από ένα σημείο προς μια ευθεία είναι μοναδική.

Έτσι το ζητούμενο του προβλήματος είναι να φτιάξεις το σχήμα και όχι οι πράξεις, που είναι απλές.

Για παράδειγμα μπορεί στη θέση του

να μπει το

, όμως έτσι δεν βγαίνει το πρόβλημα.

Φιλικά,
Δημήτρης

Γιώργος Απόκης · #162

jim.jt έγραψε:
Άλλος τρόπος είναι να προεκτείνουμε τις και $\Gamma \Delta$ , ώστε να σχηματιστεί ισόπλευρο.

Μετά με τριγωνομετρία βρίσκουμε την πλευρά του ισόπλευρου και με αυτό, το εμβαδόν του και το εμβαδόν του μικρού σχηματιζόμενου τριγώνου.

Τέλος αφαιρούμε τα δύο τελευταία και βρίσκουμε το ζητούμενο εμβαδόν.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δεν γράφω τις πράξεις, γιατί δεν έχουν σημασία, εφόσον το αποτέλεσμα υπάρχει.

Αρκετά πιο σύντομο!

sidchris · #163

Άσκηση 99η
Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ισοσκελές με βάση $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .Να βρεθεί το εμβαδο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$

gavrilos · #164

sidchris έγραψε:Άσκηση 99η
Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ισοσκελές με βάση $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .Να βρεθεί το εμβαδο του $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$

: Γεωμετρια mathematica_20.PNG (11.81 KiB) Προβλήθηκε 2951 φορές

Όπως φαίνεται και στο παραπάνω σχήμα,εφόσον το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ισοσκελές με ίσες γωνίες $\displaystyle{30^{\circ}}$ η τρίτη γωνία θα ισούται με $\displaystyle{120^{\circ}}$ και αφού το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Delta}$ είναι επίσης ισοσκελές επίσης με ίσες γωνίες $\displaystyle{30^{\circ}}$ η $\displaystyle{\Gamma A \Delta}$ θα είναι ορθή και η $\displaystyle{A\Gamma \Delta}$ ίση με $\displaystyle{30^{\circ}}$ .

Συνεπώς αφού $\displaystyle{\eta \mu 30^{\circ}=\frac{1}{2}}$ θα ισχύει $\displaystyle{\Gamma \Delta =8}$ και $\displaystyle{B\Gamma =12}$ .Ακόμη με πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{A\Gamma \Delta}$ έχουμε ότι $\displaystyle{A\Gamma = 4\sqrt{3}}$ .

Το ύψος του τριγώνου είναι και διάμεσος και θα ισούται με $\displaystyle{2\sqrt{3}}$ (πυθαγόρειο στο τρίγωνο $\displaystyle{AE\Gamma}$ ) συνεπώς $\displaystyle{(AB\Gamma)=6\sqrt{3}}$ .

sidchris · #165

Άσκηση 100η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί η περίμετρος του $\displaystyle{{\rm{{\rm A}{\rm Z}{\rm B}\Delta \Gamma }}}$ αν $\displaystyle{{\rm A}\hat \Gamma {\rm B} = 90^\circ }$ $\displaystyle{{\rm{AZ = 2}}\sqrt 2 }$ και $\Delta B=\Gamma \Delta$

sidchris · #166

Άσκηση 101η
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ με τα εξής στοιχεία $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = 6\sqrt 3 ,{\rm B}\Gamma = 4\sqrt 3 ,\hat \Gamma = 30^\circ }$ .Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ορθογώνιο

T-Rex · #167

sidchris έγραψε:Άσκηση 64η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδό του τετραπλεύρου $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )}$

ΛΥΣΗ επειδή το τρίγωνο $AB\Delta$ είναι ορθογώνιο η πλευρά $\Delta B$ ειναι

γιατί $3^{2}+4^{2}=25$
Στο ισοσκελές τρίγωνο $B\Delta \Gamma$ το

είναι το ύψος και είναι

γιατί το τρίγωνο $B\Gamma K$ είναι ορθογώνιο και το εμβαδόν επειδή τα τρία τρίγωνα είναι ίσα είναι
$E=3\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=3\cdot 3\cdot 2=18.$

sidchris · #168

Άσκηση 102η(αφιερωμένη στο Δημητρη)
Στο παρακάτω σχήμα δινεται $\displaystyle{{\rm A}\Delta = 4\sqrt 2 }$ , $\displaystyle{\Delta \Gamma = 6 - 2\sqrt 3 }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = 4\sqrt 3 }$ .Να βρεθεί το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$

Ιστοσελίδα · #169

sidchris έγραψε:Άσκηση 102η (αφιερωμένη στο Δημητρη)
Στο παρακάτω σχήμα δινεται $\displaystyle{{\rm A}\Delta = 4\sqrt 2 }$ , $\displaystyle{\Delta \Gamma = 6 - 2\sqrt 3 }$ και $\displaystyle{{\rm B}\Gamma = 4\sqrt 3 }$ .Να βρεθεί το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$

Συγχαρητήρια στο συνάδελφο Χρήστο για την προσπάθειά του αυτή. Η αλήθεια είναι πως το Γυμνάσιο είναι αρκετά παραμελημένο… υποτίθεται ότι εκεί (όπως και στο Δημοτικό) έπρεπε να μπαίνουν οι μαθηματικές (και όχι μόνο) βάσεις… αλλά η υποχρεωτική εκπαίδευση και το σύστημα τα έχει καταστρέψει όλα!

: Άσκηση-102η.png (10.37 KiB) Προβλήθηκε 2856 φορές

Κατασκευάζω το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ${\rm B}{\rm Z}{\rm E}{\rm K}$ . Από τους γνωστούς τριγωνομετρικούς αριθμούς των παραπληρωματικών γωνιών του σχήματος, καταλήγω στο ορθογώνιο $\triangle {\rm B}{\rm A}{\rm K}$ με κάθετες ${\rm A}{\rm K} = 2,\,{\rm B}{\rm K} = 10$ και υποτείνουσα ${\rm A}{\rm B} = 2\sqrt {26\,} \mu .$

sidchris · #170

Άσκηση 103η
Αν ο αριθμός $\displaystyle{\mu = \frac{{3\nu }}{5} + 6}$ είναι ακέραιος,μικρότερος του

και μεγαλύτερος του

τότε να βρεθεί η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές $\displaystyle{\mu ,\nu }$

T-Rex · #171

sidchris έγραψε:Άσκηση 103η
Αν ο αριθμός $\displaystyle{\mu = \frac{{3\nu }}{5} + 6}$ είναι ακέραιος,μικρότερος του και μεγαλύτερος του τότε να βρεθεί η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές $\displaystyle{\mu ,\nu }$

ΛΥΣΗ Οαριθμός

θα είναι

ή

και ο

θα είναι πολλαπλάσιο του

για να είναι το κλάσμα $\frac{3n}{5}$ ακέραιος .
μπορούμε αμέσως να πούμε ότι ο

και ο

είναι

γιατί μόνο ο

διαιρείται με το

και η υποτείνουσα του τριγώνου είναι $\sqrt{15^{2}+15^{2}}=\sqrt{2.15^{2}}=15.\sqrt{2}$

T-Rex · #172

sidchris έγραψε:Άσκηση 101η
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ με τα εξής στοιχεία $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = 4\sqrt 3 ,{\rm A}\Gamma = 4,{\rm B}\Gamma = 4\sqrt 3 ,\hat \Gamma = 30^\circ }$ .Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ορθογώνιο

Άλλο εμβαδόν βγάζω: $8\sqrt{2}$

sidchris · #173

T-Rex έγραψε:
sidchris έγραψε:Άσκηση 101η
Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ με τα εξής στοιχεία $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = 4\sqrt 3 ,{\rm A}\Gamma = 4,{\rm B}\Gamma = 4\sqrt 3 ,\hat \Gamma = 30^\circ }$ .Να δειχθεί ότι το τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ είναι ορθογώνιο
Άλλο εμβαδόν βγάζω: $8\sqrt{2}$

Εχω κανει λαθος τωρα την διορθωσα

sidchris · #174

Άσκηση 104η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το μήκος του $\displaystyle{{\rm B}\Delta }$

raf616 · #175

Ας δώσω μια λύση που σκέφτηκα σε αυτό το έξυπνο πρόβλημα.

Αρχικά φέρνουμε το τμήμα $\Gamma \Delta$ καθώς και το

. To

είναι το μέσο του $B\Gamma$ αφού το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές( $A\Gamma = AB = 25$ ) και άρα το ύψος είναι και διάμεσος. Εφαρμόζουμε Π.Θ στο τρίγωνο $AE\Gamma$ και έχουμε:
$AE^{2} + 15^{2} = 25^{2}\Leftrightarrow AE^{2} = 625-225\Leftrightarrow AE = \sqrt{400} \Leftrightarrow AE = 20$

Άρα, το εμβαδόν του τριγώνου $AB\Gamma$ είναι $E_{AB\Gamma} = \frac{\beta \upsilon}{2}\Leftrightarrow E_{AB\Gamma} = \frac{20 * 30}{2} \Leftrightarrow E_{AB\Gamma} = 300$

Το εμβαδόν του τριγώνου όμως είναι και $\frac{AB * \Delta \Gamma}{2}$

Άρα: $E_{AB\Gamma} = \frac{AB * \Delta \Gamma}{2}\Leftrightarrow 300 = \frac{25\Delta \Gamma}{2}\Leftrightarrow 25\Delta \Gamma = 600 \Leftrightarrow \Delta \Gamma = 24$

Με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος στο τρίγωνο $A\Delta\Gamma$ έχουμε:

$A\Delta^{2} + 24^{2} = 25^{2}\Leftrightarrow A\Delta^{2} = 625 - 576\Leftrightarrow A\Delta = \sqrt{49} \Leftrightarrow A\Delta = 7$

Επομένως $AB = B\Delta + A\Delta \Leftrightarrow B\Delta = AB - A\Delta\Leftrightarrow B\Delta = 25 - 7 \Leftrightarrow \boxed {B\Delta = 18}$

sidchris · #176

Άσκηση 105η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το μήκος του $\displaystyle{AE}$

sidchris · #177

Άσκηση 106η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδο του σκιασμένου σχήματος

sidchris · #178

Άσκηση 107η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το $\displaystyle{AE}$ αν $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 7,\Gamma \Delta = 3,\Delta {\rm E} = 4\sqrt 2 }$ , $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}} \right) = 34}$

Broly · #179

sidchris έγραψε:Άσκηση 105η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το μήκος του $\displaystyle{AE}$

Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ACD

,

.

Οπότε AB=2AD=10

.

Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ABC , BC^2=AB^2+AC^2 => BC^2=10^2+12^2 => BC^2=244

.

Πυθαγόρειο στο τρίγωνο BCE , CE^2=BE^2+BC^2 (1)

.

Πυθαγόρειο στο τρίγωνο ABE , BE^2=AE^2+AB^2 (2)

.

Πρόσθεση κατά μέλη των (1),(2)

:

$CE^2=BC^2+AE^2+AB^2 => (12+AE)^2=244+AE^2+100 => AE^2+24AE+144=AE^2+344 => 24AE=200 => AE=\frac {25}{3}$ .

#180

sidchris έγραψε:Άσκηση 107η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το $\displaystyle{AE}$ αν $\displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 7,\Gamma \Delta = 3,\Delta {\rm E} = 4\sqrt 2 }$

Καλησπέρα!

Έχω τη γνώμη ότι χρειάζεται ένα ακόμα στοιχείο, γιατί το

μπορεί να πάρει οποιαδήποτε (θετική) τιμή.

: 26-4-2013 Β Γυμνασίου.jpg (14.33 KiB) Προβλήθηκε 2564 φορές

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση