ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ 1

#1

...από τεστ σε σχολείο μαθητή μου....

Α) Έστω τα ενδεχόμενα $A,\,\,B$ ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ τα οποία είναι ασυμβίβαστα , με

$P(A)=\frac{{{\kappa }^{2}}+1}{4},\,\,\,P(B)=\frac{2-\kappa }{2},\,\,\,\,\kappa \in R$ .Να βρεθεί ό αριθμός $\kappa$ .

Β) Για $\kappa =1$ να βρείτε τα ενδεχόμενα :

$\Gamma$ : «να πραγματοποιηθεί ένα το πολύ από τα $A,\,\,B$ »

$\Delta$ : « να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα $A,\,\,B$ »

Γ) Να υπολογισθούν οι πιθανότητες : $P({A}'\cup B),\,\,\,\,P({A}'-{B}'),\,\,\,P({A}'\cap {B}')$

Δ) Έστω οι τιμές μιας μεταβλητής

, ${{x}_{1}}=P(A\cup B),\,\,\,{{x}_{2}}=P(A\cap B),\,\,\,{{x}_{3}}=P(A-B),\,\,\,{{x}_{4}}=P(B-A)$

με αντίστοιχες συχνότητες ${{v}_{1}}=p,\,\,\,{{v}_{2}}=\lambda ,\,\,\,{{v}_{3}}={{v}_{4}}=1,\,\,\,\,\,\,p,\lambda \in N$ .

Να εξετάσετε αν είναι δυνατό να ισχύει ταυτόχρονα $\bar{x}=\frac{1}{2},\,\,\,\,\delta =\frac{3}{4}$ όπου $\bar{x},\,\,\,\delta$

αντίστοιχα η μέση τιμή και διάμεσος .

..διόρθωσα την τιμή της πιθανότητας P(A) μετά από τα Π.Μ...ζητώ συγγνώμη για όσους ταλαιπώρησα...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

KAKABASBASILEIOS έγραψε:...από τεστ σε σχολείο μαθητή μου....

Α) Έστω τα ενδεχόμενα $A,\,\,B$ ενός δειγματικού χώρου $\Omega$ τα οποία είναι ασυμβίβαστα , με

$P(A)=\frac{{{\kappa }^{2}}+1}{4},\,\,\,P(B)=\frac{2-\kappa }{2},\,\,\,\,\kappa \in R$ .Να βρεθεί ό αριθμός $\kappa$ .

Β) Για $\kappa =1$ να βρείτε τα ενδεχόμενα :

$\Gamma$ : «να πραγματοποιηθεί ένα το πολύ από τα $A,\,\,B$ »

$\Delta$ : « να μη πραγματοποιηθεί κανένα από τα $A,\,\,B$ »

A) Έχουμε ότι $\displaystyle{P(A \cup B)=P(A)+P(B)=\frac{k^2-2k+5}{4}}$

και πρέπει $\displaystyle{0 \leq P(A \cup B) \leq 1}$ .

Συνεπώς: $\displaystyle{0 \leq \frac{k^2-2k+5}{4} \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq k^2-2k+5 \leq 4 \Leftrightarrow k^2-2k+1\leq 0 \Leftrightarrow k=1}$ .

B) Για k=1

, έχουμε $\displaystyle{P(A)=P(B)=\frac 12}$ .

Τότε: $\displaystyle{P(\Gamma) = P[(A \cap B)^\prime]=1-P(A \cap B)=1}$ και

$\displaystyle{P(\Delta) = P[(A \cup B)^\prime]=1-P(A \cup B)=1-P(A)-P(B)=0}$ .

#3

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Γ) Να υπολογισθούν οι πιθανότητες : $P({A}'\cup B),\,\,\,\,P({A}'-{B}'),\,\,\,P({A}'\cap {B}')$

Δ) Έστω οι τιμές μιας μεταβλητής , ${{x}_{1}}=P(A\cup B),\,\,\,{{x}_{2}}=P(A\cap B),\,\,\,{{x}_{3}}=P(A-B),\,\,\,{{x}_{4}}=P(B-A)$

με αντίστοιχες συχνότητες ${{v}_{1}}=p,\,\,\,{{v}_{2}}=\lambda ,\,\,\,{{v}_{3}}={{v}_{4}}=1,\,\,\,\,\,\,p,\lambda \in N$ .

Να εξετάσετε αν είναι δυνατό να ισχύει ταυτόχρονα $\bar{x}=\frac{1}{2},\,\,\,\,\delta =\frac{3}{4}$ όπου $\bar{x},\,\,\,\delta$

αντίστοιχα η μέση τιμή και διάμεσος .

Γ) $\displaystyle{P({A}'\cup B)=P(A{'})+P(B)-P(A{'} \cap B)=1-P(A)+P(B)-P(B-A)=}$
$\displaystyle{=1-P(A)+P(B)-P(B)+P(A \cap B)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}$ .

$\displaystyle{P({A}'-{B}')=P(A{'} \cap B)=P(B-A)=P(B)-P(A \cap B)=\frac{1}{2}}$ .

$\displaystyle{P({A}'\cap {B}')=P[(A\cup B){'}]=1-P(A \cup B)=1-P(A)-P(B)=0}$ .

Δ) $\displaystyle{{{x}_{1}}=P(A\cup B)=P(A)+P(B)=1}$ ,
$\displaystyle{{{x}_{2}}=P(A\cap B)=0}$ ,
$\displaystyle{{{x}_{3}}=P(A-B)=P(A)-P(A \cap B)=\frac{1}{2}}$ ,
$\displaystyle{{{x}_{4}}=P(B-A)=P(B)-P(B \cap A)=\frac{1}{2}}$ .

Τότε: $\displaystyle{\bar{x}=\frac{x_1\nu_1+x_2\nu_2+x_3\nu_3+x_4\nu_4}{\nu_1+\nu_2+\nu_3+\nu_4}}$ ,

οπότε $\displaystyle{\frac{1}{2}=\frac{\nu_1+\frac{\nu_3}{2}+\frac{\nu_4}{2}}{\nu_1+\nu_2+\nu_3+\nu_4} \Leftrightarrow \nu_1+\nu_2+\nu_3+\nu_4=2\nu_1+\nu_3+\nu_4 \Leftrightarrow \nu_2=\nu_1}$ .

Αφού θέλουμε η διάμεσος να είναι $\displaystyle{\frac{3}{4} \neq x_i,\,i=1,2,3,4}$ τότε το πλήθος των παρατηρήσεων $(\nu_1+\nu_2+\nu_3+\nu_4)$ είναι άρτιος αριθμός.

Συνεπώς θα πρέπει $\displaystyle{\nu_2+\nu_3+\nu_4-1=\nu_1-1 \Leftrightarrow \nu_3+\nu_4=0 \Leftrightarrow \nu_3=\nu_4=0}$ που δεν μπορεί να συμβαίνει αφού πρέπει να υπάρχει η παρατήρηση $\displaystyle{\frac 12}$ για να έχουμε διάμεσο $\displaystyle{\frac{3}{4}}$ .

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ 1

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ 1

Re: ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ 1

Re: ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ 1

Μέλη σε σύνδεση