Συνδυαστική

alex2395 · #1

Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ με $f(x)\neq 0$
Ισχύουν οι σχέσεις:
$\cdot f(x)=\int_{0}^{x}{g(t)dt}+c$

$\cdot g(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$

$\cdot \int_{0}^{x}{f(t)dt}\geq x$

για κάθε $x\in R$

α)Να βρεθεί το c
β)Να μελετηθούν οι f,g ως προς τη μονοτονία ,τα ακρότατα ,την καμπυλότητα ,τα σημεία καμπής
γ)Να βρεθεί ο τύπος των f,g
δ)Αν $E_{1}$ το εμβαδό που περικλείεται απο το $C_{f}$ ,την $y=e^{-x}$ και τις ευθείες x=0

,

, $E_{2}$ το εμβαδό που περικλείεται απο το $C_{f}$ ,την $y=e^{x}$ και τις ευθείες x=0

,

και $E_{3}$ το εμβαδό που περικλείεται απο το $C_{g}$ , τον x'x

και τις ευθείες x=0

,

τότε νδο:
$E_{1}=E_{2}=E_{3}$
ε)νδο υπάρχουν $\xi_{1},\xi _{2}>0$ ώστε $f(\xi _{1})(f(x)-1)=g(\xi _{2})g(x)$
στ)Έστω ένας μιγαδικός z=f(x)+ig(x)

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z

ΥΓ:Πρόκειται για μια από τις πρώτες μου προσπάθειες για την κατασκεύη μιας άσκησης(με αφορμή τις υπερβολικές συναρτήσεις που ανακάλυψα τυχαία στο ιντερνετ) και είπα να την ανεβάσω εδώ για να δω μηπώς εχεί τίποτα λαθη.Οποιοδήποτε σχόλιο ευπρόσδεκτο!

dennys · #2

α)η τρίτη δοσμένη σχέση με θ.Fermat $f(0)=1\Rightarrow c=1$

και με παραγωγίσεις $f{'}(x)=g(x)\Rightarrow f{'}{'}(x)=g{'}(x)=f(x)\Rightarrow f{'}(x)+f(x)=c_{1}e^x\Rightarrow c_{1}=1$

$(f(x)e^{x}){'}=(e^{2x}/2){'}\Rightarrow f(x)=\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}, g(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

β,γ) $f{'}(x)=g(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}=0\Rightarrow f \nearrow x>0, f\searrow x<0$ και έχει ολικό ελάχιστο f(0)=1

κυρτή .Για την g(x)

έχουμε

$g{'}(x)=f(x)>0, g \nearrow \forall x\inR, g{'}{'}(x)=g(x)=0\Rightarrow x=0, g$ κυρτή για X>0

και κοίλη για x<0

και έχει Σ.Κ. στο x=0

δ)Τα εμβαδά είναι απλές αποδεικτικές σχέσεις με στοιχειώδη ολοκληρώματα και εύκολη εξαγωγή προσήμου.

ε)Θ.Μ.Τ για τις f, g

στο

και πολ/σμό κατα μέλη.

στ) H εικόνα του μιγαδικού $z=a+bi= f(x)+f{'}(x)i\Rightarrow a=\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2},b=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

$a+b=e^{x} (1), a-b=e^{-x} (2)$ και με πολ/σμό αυτών $a^{2}-b^{2}=1\Rightarrow x^{2}-y^{2}=1$ Υπερβολή ο γ.τ. του z

alex2395 · #3

dennys έγραψε:
στ) H εικόνα του μιγαδικού $z=a+bi= f(x)+f{'}(x)i\Rightarrow a=\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2},b=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

$a+b=e^{x} (1), a-b=e^{-x} (2)$ και με πολ/σμό αυτών $a^{2}-b^{2}=1\Rightarrow x^{2}-y^{2}=1$ Υπερβολή ο γ.τ. του z

πολύ σωστά όλα αλλά f(x)>0 οπότε δεν θα έπρεπε να είναι το σκέλος της υπερβολής που βρίσκεται δεξιά του y'y?
θα φτιάξω ενα καλύτερο ερώτημα στη θέση του γ μιας και είναι κάπως βαρετό

Συνδυαστική

Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Re: Συνδυαστική

Μέλη σε σύνδεση