επαναληπτικό 4 (συνδυαστική με τα 3 κεφάλαια)

parmenides51 · #1

Μια άσκηση του thanasis kopadis που ανέβασε στα αρχεία του

, για να μην μένει άλυτη.

Δίνεται ότι σε μια κανονική κατανομή με $\displaystyle{\nu=4000}$ , οι $\displaystyle{100}$ παρατηρήσεις είναι μεγαλύτερες του $\displaystyle{22}$ , ενώ $\displaystyle{6}$ παρατηρήσεις είναι μικρότερες του $\displaystyle{17}$ .
α) Να βρείτε τη μέση τιμή $\displaystyle{\overline{x}}$ , τη διάμεσο $\displaystyle{\delta }$ , την τυπική απόκλιση $\displaystyle{S}$ και το εύρος $\displaystyle{R}$ .
β) Να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές.
γ) Να βρείτε πόσο πρέπει να μειωθεί κάθε παρατήρηση, ώστε το δείγμα να πάψει να είναι ομοιογενές.
δ) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}Rx^3-\frac{7}{2S}x^2+\frac{\overline{x} }{10}x+2013}$ , όπου $\displaystyle{\overline{x} , S , R}$ η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση και το εύρος της κανονικής κατανομής.
i) Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ που οι εφαπτομένες είναι παράλληλες με τον άξονα $\displaystyle{x΄x}$ .
ii) Αν $\displaystyle{A, B}$ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\displaystyle{\Omega}$ , με $\displaystyle{A\subseteq B}$ και $\displaystyle{P(A) , P(B)}$ είναι οι τετμημένες των σημείων του ερωτήματος δ)i) να βρεθούν οι πιθανότητες $\displaystyle{P(A) , P(B) , P(A\cap B) , P(A\cup B) , P(A-B)}$ και $\displaystyle{P(B-A)}$
iii) Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβλητότητας των παρατηρήσεων $\displaystyle{P(A) , P(B) , P(A\cap B) , P(A\cup B)}$ του ερωτήματος δ)ii)
iv) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\ln (x-P(B) )-\frac{1}{2}(x-P(B) )^2+P(A) }$ , όπου $\displaystyle{P(A)}$ και $\displaystyle{P(B)}$ οι πιθανότητες των ενδεχομένων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ του ερωτήματος δ)ii)

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:Μια άσκηση του thanasis kopadis που ανέβασε στα αρχεία του , για να μην μένει άλυτη.

Δίνεται ότι σε μια κανονική κατανομή με $\displaystyle{\nu=4000}$ , οι $\displaystyle{100}$ παρατηρήσεις είναι μεγαλύτερες του $\displaystyle{22}$ , ενώ $\displaystyle{6}$ παρατηρήσεις είναι μικρότερες του $\displaystyle{17}$ .
α) Να βρείτε τη μέση τιμή $\displaystyle{\overline{x}}$ , τη διάμεσο $\displaystyle{\delta }$ , την τυπική απόκλιση $\displaystyle{S}$ και το εύρος $\displaystyle{R}$ .
β) Να δείξετε ότι το δείγμα είναι ομοιογενές.
γ) Να βρείτε πόσο πρέπει να μειωθεί κάθε παρατήρηση, ώστε το δείγμα να πάψει να είναι ομοιογενές.
δ) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}Rx^3-\frac{7}{2S}x^2+\frac{\overline{x} }{10}x+2013}$ , όπου $\displaystyle{\overline{x} , S , R}$ η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση και το εύρος της κανονικής κατανομής.
i) Να βρεθούν οι τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ που οι εφαπτομένες είναι παράλληλες με τον άξονα $\displaystyle{x΄x}$ .
ii) Αν $\displaystyle{A, B}$ είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου $\displaystyle{\Omega}$ , με $\displaystyle{A\subseteq B}$ και $\displaystyle{P(A) , P(B)}$ είναι οι τετμημένες των σημείων του ερωτήματος δ)i) να βρεθούν οι πιθανότητες $\displaystyle{P(A) , P(B) , P(A\cap B) , P(A\cup B) , P(A-B)}$ και $\displaystyle{P(B-A)}$
iii) Να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβλητότητας των παρατηρήσεων $\displaystyle{P(A) , P(B) , P(A\cap B) , P(A\cup B)}$ του ερωτήματος δ)ii)
iv) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα την συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\ln (x-P(B) )-\frac{1}{2}(x-P(B) )^2+P(A) }$ , όπου $\displaystyle{P(A)}$ και $\displaystyle{P(B)}$ οι πιθανότητες των ενδεχομένων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ του ερωτήματος δ)ii)

α) Οι

παρατηρήσεις αποτελούν το $\displaystyle\frac{{100}}{{4000}} = 0,025 = 2,5\%$ των παρατηρήσεων και αφού η κατανομή είναι κανονική είναι: $\bar x + 2s = 22\;\left( 1 \right)$

Οι

παρατηρήσεις αποτελούν το $\displaystyle\frac{6}{{4000}} = 0,0015 = 0,15\%$ των παρατηρήσεων. έτσι $\bar x - 3s = 17\;\left( 2 \right)$

Αφαιρώντας την (2) από την (1) παίρνουμε $5s = 5 \Leftrightarrow s = 1$

Η (1) μας δίνει $\bar x = 20$

Είναι $\delta = \bar x = 20$ και $R \cong 6s \Leftrightarrow R \cong 6$ αφού η κατανομή είναι κανονική.

β) Είναι $\displaystyle CV = \frac{s}{{\left| {\bar x} \right|}} \Rightarrow CV = \frac{1}{{20}} \Rightarrow CV = 0,05 < 0,1$ , οπότε το δείγμα είναι ομοιογενές.

γ) Αν κάθε παρατήρηση μειωθεί κατά $\alpha > 0$ , τότε η νέα μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι ${\bar x_1} = \bar x - \alpha \Rightarrow {\bar x_1} = 20 - \alpha$ και η νέα τυπική απόκλιση είναι ${s_1} = s \Rightarrow {s_1} = 1$

Πρέπει

$\displaystyle C{V_1} > \frac{1}{{10}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\alpha \ne 20} \frac{1}{{\left| {20 - \alpha } \right|}} > \frac{1}{{10}} \Leftrightarrow \left| {20 - \alpha } \right| < 10 \Leftrightarrow 10 < \alpha < 30$

δ) Με τις τιμές που βρήκαμε η

γίνεται:

$\displaystyle f\left( x \right) = 2{x^3} - \frac{7}{2}{x^2} + 2x + 2013,\;x \in R$

$f'\left( x \right) = 6{x^2} - 7x + 2$

i. Στα σημεία που οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον x'x

είναι:

$\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 7x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\;\dot \eta \;x = \frac{2}{3}$

ii. $A \subseteq B \Rightarrow P\left( A \right) \le P\left( B \right)$ , οπότε $\displaystyle P\left( A \right) = \frac{1}{2}$ και $\displaystyleP\left( B \right) = \frac{2}{3}$

$\displaystyle A \subseteq B \Rightarrow A \cap B = A \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P(A) \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{2}$

$\displaystyle A \subseteq B \Rightarrow A \cup B = B \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = P(B) \Rightarrow P\left( {A \cup B} \right) = \frac{2}{3}$

$\displaystyle A \subseteq B \Rightarrow A - B = \emptyset \Rightarrow P\left( {A - B} \right) = 0$

$\displaystyle P\left( {B - A} \right) = P(B) - P\left( {A \cap B} \right) \Rightarrow P\left( {B - A} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \Rightarrow P\left( {B - A} \right) = \frac{1}{6}$

iii. Οι παρατηρήσεις $P(A),\;P(B),\;P(A \cap B)$ και $P(A \cup B)$ σε αύξουσα σειρά είναι οι: $\displaystyle\frac{1}{2},\;\frac{1}{2},\;\frac{2}{3},\;\frac{2}{3}$ και έχουν:

Μέση τιμή $\displaystyle\bar x = \frac{{2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{3}}}{4} \Rightarrow \bar x = \frac{7}{{12}}$

Διάμεσο $\displaystyle\delta = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}}{2} \Rightarrow \delta = \frac{7}{{12}}$

Διακύμανση – Τυπική απόκλιση

$\displaystyle {s^2} = \frac{1}{4}\left[ {2{{\left( {\frac{7}{{12}} - \frac{1}{2}} \right)}^2} + 2{{\left( {\frac{7}{{12}} - \frac{2}{3}} \right)}^2}} \right] \Rightarrow {s^2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{144}} + \frac{1}{{144}}} \right) \Rightarrow s = \frac{1}{{12}}$

Συντελεστή μεταβολής $\displaystyle CV = \frac{s}{{\left| {\bar x} \right|}} \Rightarrow CV = \frac{1}{7}$

iv. Με $\displaystyle P\left( A \right) = \frac{1}{2}$ και $\displaystyle P\left( B \right) = \frac{2}{3}$ η

γίνεται:

$\displaystyle g\left( x \right) = \ln \left( {x - \frac{2}{3}} \right) - \frac{1}{2}{\left( {x - \frac{2}{3}} \right)^2} + \frac{1}{2}$ με $\displaystyle x > \frac{2}{3}$

Είναι $\displaystyle g'\left( x \right) = \frac{1}{{x - \frac{2}{3}}} - \left( {x - \frac{2}{3}} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{1 - {{\left( {x - \frac{2}{3}} \right)}^2}}}{{x - \frac{2}{3}}} \Rightarrow g'\left( x \right) = \frac{{\left( {\frac{1}{3} - x} \right)\left( {\frac{5}{3} - x} \right)}}{{x - \frac{2}{3}}}$

$\displaystyle g'(x) = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x - \frac{2}{3} > 0} \left( {\frac{1}{3} - x} \right)\left( {\frac{5}{3} - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\;\dot \eta \,x = \frac{5}{3}$

$\displaystyle g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x > \frac{5}{3}$ αφού $\displaystyle x > \frac{2}{3}$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα αν $\displaystyle x \in \left[ {\frac{5}{3}, + \infty } \right)$ και γνησίως φθίνουσα αν $\displaystyle x \in \left( {\frac{2}{3},\frac{5}{3}} \right]$ και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο αν $\displaystyle x = \frac{5}{3}$ το $\displaystyle g\left( {\frac{5}{3}} \right) = \ln 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow g\left( {\frac{5}{3}} \right) = 0$

επαναληπτικό 4 (συνδυαστική με τα 3 κεφάλαια)

επαναληπτικό 4 (συνδυαστική με τα 3 κεφάλαια)

Re: επαναληπτικό 4 (συνδυαστική με τα 3 κεφάλαια)

Μέλη σε σύνδεση