Εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Εφαπτομένη.png (8.71 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές

Στο καρτεσιανό επίπεδο βρίσκονται τα σημεία A(1,3)

και

. Βρείτε σημείο

του άξονα x'x

,

έτσι ώστε η

να εφάπτεται του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα O,A,T

(

η αρχή των αξόνων ) .

#2

KARKAR έγραψε: Στο καρτεσιανό επίπεδο βρίσκονται τα σημεία και . Βρείτε σημείο του άξονα ,έτσι ώστε η να εφάπτεται του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα ( η αρχή των αξόνων ) .

Ας είναι για ευκολία $T\left( {\alpha ,0} \right)$ . Τότε το κέντρο του περικυκλίου του τριγώνου $\vartriangle OAT$ θα είναι το σημείο τομής της μεσοκάθετης ευθείας $\left( \eta \right)$

του και της μεσοκάθετης ευθεία $\left( \varepsilon \right)$ του .
[attachment=0]1.png[/attachment]
Είναι ${\lambda _{OA}} = \dfrac{3}{1} = 3\mathop \Rightarrow \limits^{\left( \eta \right) \bot OA} {\lambda _{\left( \eta \right)}} = - \dfrac{1}{3}$ και με $M\left( {\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3}} \right)$ θα είναι: $\boxed{\left( \eta \right):y - \dfrac{3}{2} = - \dfrac{1}{3}\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}$ και προφανώς $\boxed{\left( \varepsilon \right):x = \dfrac{a}{2}}$ .

Άρα $K:\left\{ \begin{gathered} y - \dfrac{3}{2} = - \dfrac{1}{3}\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right) \\ x = \dfrac{a}{2} \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \ldots \boxed{K\left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{{10 - a}}{6}} \right)}$ . Για να εφάπτεται η στον κύκλο $\left( K \right)$ πρέπει και αρκεί $\overrightarrow {KT} \bot \overrightarrow {TS} \Leftrightarrow \boxed{\overrightarrow {KT} \cdot \overrightarrow {TS} = 0}:\left( 1 \right)$ .

Όμως $\overrightarrow {KT} = \left( {\dfrac{a}{2},\dfrac{{a - 10}}{6}} \right)$ και $\overrightarrow {TS} = \left( {6 - a,4} \right)$ οπότε από την $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2}\left( {6 - a} \right) + 4\dfrac{{a - 10}}{6} = 0 \Leftrightarrow \ldots$

$3{a^2} - 22a + 40 = 0 \Leftrightarrow \ldots \left\{ \begin{gathered} a = 4 \\ \vee \\ a = \dfrac{{10}}{3} \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{T\left( {4,0} \right)}\,\, \vee \boxed{T'\left( {\dfrac{{10}}{3},0} \right)}$ και το ζητούμενο έχει βρεθεί.

Στάθης

#3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Εφαπτομένη.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Στο καρτεσιανό επίπεδο βρίσκονται τα σημεία και . Βρείτε σημείο του άξονα ,

έτσι ώστε η να εφάπτεται του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα ( η αρχή των αξόνων ) .

Χαιρετώ σας.

: Εφαπτομένη_ok.png (31.92 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Επειδή η εξίσωση της

είναι

, η οικογένεια των κύκλων που

διέρχονται από τα O,A

έχει εξίσωση :

${C_k} \to x(x - 1) + y(y - 3) + k(3x - y) = 0,k \in \mathbb{R}\,\,\,(1)$

Αν διέρχονται και από σημείο $T(a,0)\,\,\,,a \ne 0$ θα επαληθεύονται απ’ αυτό και άρα

$a(a - 1) + 3ak = 0 \Rightarrow a - 1 + 3k = 0 \Rightarrow a = 1 - 3k\,\,(2)$ .

Η (1)

γράφεται και ως ${x^2} + {y^2} + (3k - 1)x - (k + 3)y = 0$ .

Ως γνωστό η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στη μορφή

${x^2} + {y^2} + ax + by + c = 0$ σε σημείο του $T({x_0},{y_0})$ είναι :

$x{x_0} + y{y_0} + \displaystyle\frac{a}{2}(x + {x_0}) + \displaystyle\frac{b}{2}(y + {y_0}) + c = 0$ και έτσι εδώ θα έχουμε :

$ax + \displaystyle\frac{{3k - 1}}{2}(x + a) - \displaystyle\frac{{k + 3}}{2}y = 0$ και αφού επαληθεύεται από το S(6,4)

θα

προκύψει : $6a + \displaystyle\frac{{3k - 1}}{2}(6 + a) - \displaystyle\frac{{k + 3}}{2}4 = 0$ και αν λάβουμε υπ’ όψιν την

(2)

θα προκύψει : $6a - \displaystyle\frac{a}{2}(6 + a) - 2(\displaystyle\frac{{1 - a}}{3} + 3) = 0$ ή μετά τις πράξεις :

$3{a^2} - 22a + 40 = 0$ απ’ όπου έχουμε T(4,0)

ή $T(\displaystyle\frac{{10}}{3},0)$

Νίκος

Perantonis · #4

Δίνω την Γεωμετρική Κατασκευή του προβλήματος

Είναι γωνίαΑΟΤ=γωνίαΑΤS (υπό χορδής και εφαπτομένης..) Δηλαδή το Τ βλέπει το σταθερό τμήμα ΑS με σταθερή γωνίαΑΟΤ.
Άρα το Τ προσδιορίζεται σαν τομή του άξονα χχ΄ και του τόξου που τα σημεία του βλέπουν το σταθερό τμήμα ΑS με σταθερή γωνίαΑΟΤ.
Έτσι εξηγείται και η ύπαρξη δύο σημείων Τ.

Περαντώνης Γιάννης

#5

Perantonis έγραψε:Δίνω την Γεωμετρική Κατασκευή του προβλήματος

Είναι γωνίαΑΟΤ=γωνίαΑΤS (υπό χορδής και εφαπτομένης..) Δηλαδή το Τ βλέπει το σταθερό τμήμα ΑS με σταθερή γωνίαΑΟΤ.
Άρα το Τ προσδιορίζεται σαν τομή του άξονα χχ΄ και του τόξου που τα σημεία του βλέπουν το σταθερό τμήμα ΑS με σταθερή γωνίαΑΟΤ.
Έτσι εξηγείται και η ύπαρξη δύο σημείων Τ.

Περαντώνης Γιάννης

Γιάννη πολύ ωραία.
Δίνω το σχήμα και την "διόρθωση" σε Latex .

[attachment=0]Εφαπτομένη _απο Perantonis.png[/attachment]
Είναι $\widehat {AOT} = \widehat {ATS}$ (υπό χορδής και εφαπτομένης..) Δηλαδή το

βλέπει το σταθερό τμήμα

με σταθερή γωνία $\widehat {AOT}$ .
Άρα το

προσδιορίζεται σαν τομή του άξονα x'x

και του τόξου που τα σημεία του βλέπουν το σταθερό τμήμα

με σταθερή γωνία $\widehat {AOT}$ .
Έτσι εξηγείται και η ύπαρξη δύο σημείων

.

Νίκος

Εφαπτομένη

Εφαπτομένη

Re: Εφαπτομένη

Re: Εφαπτομένη

Re: Εφαπτομένη

Re: Εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση