Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

parmenides51 · #141

για να μας φύγει η απορία, οι προτεινόμενες ενδεικτικές λύσεις από την επιτροπή ΚΕΓΕ, πως το αντιμετώπιζαν το Β3;

diomides · #142

Nick1990 έγραψε:Επίσης, το Β3 βγαίνει και με μελέτη συνάρτησης ως προς το μέτρο, οπότε πάλι δεν πρόκειται περί ακραίου θέματος.

Μην ξεχνάμε οτι απευθυνόμαστε σε μαθητές λυκείου και σε συνθήκες εξετάσεων. Δηλαδή ποιό θα ήταν ένα ακράιο ερώτημα για εσένα;

mathxl · #143

Η απαγωγή σε άτοπο είναι μια μέθοδος που συναντάται από την α λυκείου αλλά στην σελ99 έχουμε κάτι άσχετο με το Β3...επειδή εξέτασα σήμερα φυσικώς αδυνάτους, η λύση του Β3 από την επιτροπή είναι για γέλια...με διαφορά κύβων και διάκριση περιπτώσεων ..το μέτρο μεγαλύτερο ή ίσο του 1 ή κάτω από το 1..ασύλληπτη λύση για να πραγματοποιηθεί από μαθητή...Το άτοπο ή ο ορισμός συνάρτησης είναι πιο κοντά στο σχολική πραγματικότητα..

Helena · #144

Στην όλη συζήτηση που υπάρχει σε σχέση με τα θέματα, υπάρχει μια παράμετρος που ελάχιστα έχει ληφθεί υπόψιν. Ότι τα θέματα αυτά είναι θέματα πανελληνίων και όχι μαθηματικού διαγωνισμού κι ως εκ τούτου θα καθορίσουν την εισαγωγή στο πανεπιστήμιο και άρα το μέλλον των παιδιών. Το πρόβλημα λοιπόν είναι απλά κατανομής βαθμολογίας; Δηλαδή ότι υπάρχει απλά μια μετακίνηση των ποσοστών της κλίμακας αρίστων από το 18-20 στο 17-19 ή κ παρακάτω και αντιστοίχως των υπολοίπων; Τότε απλά το κακό θα ήταν μικρό. Σήμερα όμως, σε μια εξαιρετικά δύσκολη κοινωνική κατάσταση, τα θέματα αυτά έρχονται να χειροτερέψουν και άλλο την κατάσταση. Καταρχήν είναι ασύμβατα με τη διδασκαλία των μαθηματικών στο σχολείο, απαιτούν έξτρα ώρες ενισχυτικής διδασκαλίας (φροντιστήρια, ιδιαίτερα κλπ όπου αρκετοί μαθητές δεν διαθέτουν πια την οικονομική άνεση) και σε μια εποχή όπου παιδιά με γονείς άνεργους ή απολυμένους είναι ήδη φορτωμένα με επιπλέον άγχη και αγωνίες, τέτοιες εξετάσεις έρχονται να γιγαντώσουν τα ήδη υπάρχοντα χάσματα. Εκτός κι αν ζούμε σε μια κανονικότητα και απλά συζητάμε την ευρηματικότητα των ασκήσεων...

Οι πανελλήνιες δεν στοχεύουν να αναδείξουν τις μαθηματικές ιδιοφυΐες, υπάρχουν άλλοι θεσμοί για αυτό. Αλλά επειδή κρίνουν με τόσο καθοριστικό τρόπο το μέλλον μιας ολόκληρης γενιάς, η επιμέρους συζήτηση για τη δυσκολία του Β3, Δ2, Δ3 κλπ έχει νόημα μεταξύ μαθηματικών (ή και μαθητών) αλλά θα είναι αυτιστική αν δεν τοποθετείται στο ευρύτερο πλαίσιο.

#145

parmenides51 έγραψε:για να μας φύγει η απορία, οι προτεινόμενες ενδεικτικές λύσεις από την επιτροπή ΚΕΓΕ, πως το αντιμετώπιζαν το Β3;

$\begin{aligned}n^3+a_2a^2+a_1n+a_0=0 &\Leftrightarrow n^3=-(-a_2n^2-a_1n-a_0) \\ &\Rightarrow |n|^3=|a_2n^2+a_1n+a_0| \\ &\Rightarrow |n|^3 \leq |a_2||n|^2+|a_1||n|+|a_0| \\ &\Rightarrow |n|^3 \leq 3|n|^2+3|n|+3\end{aligned}$

Συνεπώς

* Αν |n|>1

τότε $\displaystyle{|n|^3 \leq 3\frac{|n|^3-1}{|n|-1}=3\left( \frac{|n|^3}{|n|-1}-\frac{1}{|n|-1} \right) < 3\frac{|n|^3}{|n|-1}}$ ,
άρα $\displaystyle{|n|^3 < 3\frac{|n|^3}{|n|-1} \Rightarrow \ldots |n|<4}$ .

* Αν $|n|\leq 1$ τότε ισχύει $\displaystyle{\ldots }$ .

siobaras · #146

parmenides51 έγραψε:για να μας φύγει η απορία, οι προτεινόμενες ενδεικτικές λύσεις από την επιτροπή ΚΕΓΕ, πως το αντιμετώπιζαν το Β3;

Δεν ξέρω κατά πόσο συνάδει η δημοσίευση περιεχομένου εσωτερικού δημοσίου εγγράφου με τον δημοσιοϋπαλληλικό κώδικα.

Από το μεσημέρι ακούω ιστορίες από λυκειακές επιτροπές με 2-3 μαθηματικούς που τους πήρε ώρες να το βγάλουν και κάποιοι δεν το έβγαλαν καθόλου.
Σοβαρές πιθανότητες να το έλυσε κάποιο παιδί έχει μόνο αν το είχε δει όνειρο, αυτός ή ο καθηγητής του ή είναι από τα ελάχιστα παιδιά με σπάνιο μαθηματικό ταλέντο.

Του χρόνου θα πάρω project "Μαθηματική μελέτη από το διαδίκτυο" πάντως.

parmenides51 · #147

siobaras έγραψε:Σοβαρές πιθανότητες να το έλυσε κάποιο παιδί έχει μόνο αν το είχε δει όνειρο, αυτός ή ο καθηγητής του ή είναι από τα ελάχιστα παιδιά με σπάνιο μαθηματικό ταλέντο.

bilstef · #148

Θα παρακαλούσα τους συναδέλφους που εξέταζαν φυσικώς αδυνάτους να καταθέσουν την εμπειρία τους ως προς την λύση των θεμάτων από αυτούς ( ένας-ένας; όλοι μαζί; βρήκαν δυσκολία; Πως διαπραγματεύθηκαν γενικά την λύση των θεμάτων πριν να τους δοθεί η βοήθεια από την κεε; )
Πρέπει να ανοίξει ο διάλογος και θα είναι πραγματικός - αληθινός αν λεχθούν τα πράγματα χωρίς φόβο και μέσω της πραγματικότητας.
Δεν θα τσαλακωθούμε ΕΜΕΙΣ ( αλλά η επιτροπή) αν πούμε ότι βρήκαμε δυσκολία να λύσουμε ( σε πραγματικές συνθήκες -σε συγκεκριμένο χρόνο ) κάποιο ερώτημα .
ΝΑΙ ,ΔΕΝ ΕΛΥΣΑ το Β3 -ΔΕΝ ήξερα τι να κάνω .......το βρήκα δύσκολο ,είπα θα το δω αργότερα αλλά το αργότερα δεν υπήρξε γιατί πια είχε φτάσει 10.:00 και έπρεπε να κατεβάσω το μολύβι γιατί πέρασε η προκαθορισμένη ώρα ......
Ακόμη και τώρα ( με γνωστές τις λύσεις ) προσπαθήστε να γράψετε πλήρεις απαντήσεις σε ( ε! σε βλέπω με καλά γράμματα) σε 2 ώρες Είναι κατορθωτό;

Nick1990 · #149

mathxl έγραψε:
Nick1990 έγραψε:Επίσης, το Β3 βγαίνει και με μελέτη συνάρτησης ως προς το μέτρο, οπότε πάλι δεν πρόκειται περί ακραίου θέματος.
Καλή έίναι η κριτική και η παράθεση απόψεων έστω και αντίθετων.
Πες μου αφού κρίνεις ως μη ακραίο το θέμα, πως πρέπει να στήνεται ένα θέμα Β και από ποιους μαθητές πρέπει να αναμένουμε την λύση του; . Δείξε μου κάποιες παρόμοιες στο σχολικό βιβλίο ή σε βοηθήματα. Σκέψου τι εφόδια πρέπει να έχει ένας μαθητής για να το λύσει;; Σε τι πράγμα πρέπει να έχει εμπειρία;;;
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
διαγωνισμοί;;;
Χωρίς να θέλω να σε προσβάλω, αν και είσαι καταπληκτικό μυαλό με γνώσεις...από θεματοδοσία δεν είσαι ψημένος...και είναι λογικό.

Σου απαντώ γιατί είμαι ένας από αυτούς που θεωρούν το β3 απαράδεκτο. Όπως έγραψα και παραπάνω οι πανελλήνιες δεν είναι ούτε Θαλής ούτε Ευκλείδης ούτε Αρχιμήδης ούτε έσωτερικός διαγωνισμός για την συγκρότηση εθνικής ομάδας.

Ανοιχτή ερώτηση: Ο πανεπιστημιακός της ΚΕΕ προτείνει θέματα ;; Ελπίζω να μένει μόνο στον επιστημονικό έλεγχο.

΄΄Ισως η μοναδική φορά που με καλύπτει αρκετά η μαθηματική εταιρεία.

Άποψή μου είναι ότι πρέπει και ο μαθητής με την εξαιρετική μαθηματική σκέψη να ξεχωρίζει, οπότε 1-2 περίπου μονάδες πρέπει να δίνονται για 3-4 ερωτήματα που θα έχουν κάποιο τρικ. Από τη στιγμή που η δυσκολία είναι ίδια για όλους και από τη στιγμή που η όποια δυσκολία είναι αμελητέα μπροστά σε αυτή που θα συναντήσει κάποιος που θέλει να προχωρήσει στην ανώτατη εκπαίδευση (*), δε βλέπω κανένα κακό. Γενικά με κάλυψε πλήρως ο Chris μερικά ποστ πιο πάνω. Αλλά ακόμα και έτσι, θα ήθελα κάποιος να μου εξηγήσει τι ακριβώς έχει το Β3 που ξεφεύγει από τις στάνταρ διαδικασίες. Το να τα στείλει στο ένα μέλος και να κάνει τριγωνική; Το να θεωρήσει 3βάθμιο πολυώνυμο ως προς το μέτρο και να κάνει μια μελέτη της μονοτονίας για χ>4; Η μήπως ο συνδυασμός των 2; Μπορεί πράγματι να μη το κατέχω με τη θεματοδοσία, οπότε θα ήθελα να μου το εξηγήσει κάποιος.

(*) Η Ελληνική ανώτατη εκπαίδευση ίσως να είναι εξαίρεση όπως την έχουν κάνει, με ιδρύματα κλειστά 25% του ακαδ. έτους, κόμματα να κανονίζουν τη διοίκηση, και εξεταστικές μαρμελαδοποίησης σε πολλά μαθήματα όπου μαθαίνεις 5 στάνταρ μεθόδους και τα ξεχνάς μετά την εξέταση (έχει ακουστεί καθηγητής σε αμφιθέατρο του ΕΜΠ να λέει: "αναγκαζόμαστε να βάζουμε νέα θέματα κάθε χρόνο!"!!!). Με αποτέλεσμα φυσικά τα Ελληνικά πανεπιστήμια να βρίσκονται κάθε χρόνο και πιο χαμηλά στις διεθνείς κατατάξεις. Τι γίνεται όμως στα ξένα πανεπιστήμια; Μπορώ να σας πω ότι με όσους έχω μιλήσει (και παιδιά από το

) στα καλύτερα πανεπιστήμια με τους καλύτερους φοιτητές από όλο τον κόσμο, το 7/10 συχνά είναι καλός βαθμός και το 8.5 ο καλύτερος δυνατός!

pana1333 · #150

Καλησπέρα και από εμένα. Δεν θα ήθελα να κρίνω τα θέματα γιατί σίγουρα θα υπάρχουν διαφωνίες. Αυτό που θα ήθελα να σχολιάσω όμως είναι η έλλειψη διαβάθμισης των θεμάτων το οποίο πιστεύω είναι το πιο σημαντικό για να χαρακτηριστεί ένα διαγώνισμα καλό ή όχι. Πρέπει να ξεχωρίζει ο άριστος από τον καλό και ο καλός από το μέτριο. Λυπάμαι αλλά τέτοια εξέταση δεν είχαμε σήμερα και είναι άδικο κυρίως για το μέτριο μαθητή που έχει πραγματικά κοπιάσει όλη τη χρονιά να μην ανταμείβεται.

#151

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
parmenides51 έγραψε:για να μας φύγει η απορία, οι προτεινόμενες ενδεικτικές λύσεις από την επιτροπή ΚΕΓΕ, πως το αντιμετώπιζαν το Β3;

$\begin{aligned}n^3+a_2a^2+a_1n+a_0=0 &\Leftrightarrow n^3=-(-a_2n^2-a_1n-a_0) \\ &\Rightarrow |n|^3=|a_2n^2+a_1n+a_0| \\ &\Rightarrow |n|^3 \leq |a_2||n|^2+|a_1||n|+|a_0| \\ &\Rightarrow |n|^3 \leq 3|n|^2+3|n|+3\end{aligned}$

Συνεπώς

* Αν τότε $\displaystyle{|n|^3 \leq 3\frac{|n|^3-1}{|n|-1}=3\left( \frac{|n|^3}{|n|-1}-\frac{1}{|n|-1} \right) < 3\frac{|n|^3}{|n|-1}}$ ,
άρα $\displaystyle{|n|^3 < 3\frac{|n|^3}{|n|-1} \Rightarrow \ldots |n|<4}$ .

* Αν $|n|\leq 1$ τότε ισχύει $\displaystyle{\ldots }$ .

Στην πραγματικότητα η μέθοδος αυτή μας εξασφαλίζει -- έστω και γραφικώς -- μία ελαφρά ισχυρότερη ανισότητα, την |v|<3,952

. Ξεφεύγοντας κάπως από τα σχολικά (Vieta, συμμετρικά πολυώνυμα κλπ) έφτασα στην $|v|^3\leq 63+\displaystyle\frac{6}{|v|^{\frac{3}{2}}}$ , η οποία δίνει |v|<3,996

. (Δεν έλεγξα και πολύ την μέθοδο μου, αλλά η εγγύτητα στο

αποτελεί σημαίνουσα ένδειξη ορθότητας

)

Θα είχε νομίζω ενδιαφέρον, έστω και αν οι περισσότεροι υποψήφιοι μάλλον θα ήθελαν να ξεχάσουν το Β3, πόσο πολύ μπορεί να βελτιωθεί το άνω φράγμα για το |v|

!

ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ 28-5-13: καθόλου δεν μπορεί να βελτιωθεί, για a_2=a_1=a_0=3

προκύπτει $v\approx 3,95137$

Γιώργος Μπαλόγλου

#152

Το Β3 ήταν πράγματι δύσκολο για πανελλαδικές. Αλλά τελικά χρειάζεται η διδακτική ή όχι;

Φιλικά,

Αχιλλέας

Nikolas13 · #153

thete έγραψε:Το θέμα Γ είναι δωράκι στους μαθητές. Στο Γ1 μια εύκολη αντιπαραγώγιση θέτω συνάρτηση βρίσκω πρόσημο και απορρίπτω τη μια λύση. Στο Γ2 βγάζω την f 1-1 και λύνω horner.Στο Γ3 πάλι εύκολη αντιπαραγώγηση στο πρόχειρο για να βρόυμε την αρχική που είναι ημίτονο επι ολοκλήρωμα και ένα Rolle.

Μάλλον θα το έχανες το δωράκι. Ας είμαστε πιο σεμνοί στις κρίσεις μας.

parmenides51 · #154

thete έγραψε:
socrates έγραψε:
thete έγραψε:
1=object? έγραψε:Η συνάρτηση $H(x) = \int\limits_x^{x + 1} {g(u)du}$ για το Δ2, που είναι ορισμένη ?
Οι λύσεις που δίνουμε συμφωνούν με τα χ για τα οποία ορίζονται οι συναρτήσεις που χρησιμοποιύνται για την επίλυση της ανίσωσης;
Συμφωνώ απόλυτα μαζί σου και νομίζω όπως έχω προαναφέρει ότι οι λυσεις είναι (1,2) !

Όχι, η $H(x) = \int\limits_x^{x + 1} {g(u)du}$ ορίζεται στο $(1,\infty)$ ενώ η $H(x) = \int\limits_{8x^2+5}^{8x^2+6} {g(u)du}$ στο $\Bbb{R}...$

Πολύ Σωστά , άρα αν διαλέξουμε τη πρώτη συνάρτηση πρέπει να δικαιολογήσουμε ότι στη σύνθεσή βγαίνει όλο το R . Νομίζω στις λύσεις Keystone έχει δοθεί λάθος πεδίο ορισμού .

τελικά την διόρθωσε στο site της ΟΕΦΕ, την λανθασμένη της λύση στο πεδίο ορισμού

MarKo · #155

Nikolas13 έγραψε:
thete έγραψε:Το θέμα Γ είναι δωράκι στους μαθητές. Στο Γ1 μια εύκολη αντιπαραγώγιση θέτω συνάρτηση βρίσκω πρόσημο και απορρίπτω τη μια λύση. Στο Γ2 βγάζω την f 1-1 και λύνω horner.Στο Γ3 πάλι εύκολη αντιπαραγώγηση στο πρόχειρο για να βρόυμε την αρχική που είναι ημίτονο επι ολοκλήρωμα και ένα Rolle.
Μάλλον θα το έχανες το δωράκι. Ας είμαστε πιο σεμνοί στις κρίσεις μας.

Δηλαδή πως το έκανες;

Δεν βγαίνει με Ηorner το Γ2.

lpap · #156

Θα ήθελα να προσθέσω το εξής: Η δυσκολία των θεμάτων είναι προφανώς συνάρτηση του περιορισμένου χρόνου. Αν είχαμε δυο μέρες όλα θα τα λύναμε. Για μένα, θα έπρεπε ένας ΜΕΣΟΣ καθηγητής να λύνει ΠΛΗΡΩΣ (με αιτιολόγηση και γραπτώς) τα θέματα των εξετάσεων σε 1 ώρα, (κάτι που δε συμβαίνει, ας το παραδεχτούμε...), ένας πολύ καλός μαθητής πάνω-κάτω σε 3 ώρες και ένας άριστος μαθητής σε 2 ώστε να του μείνει και χρόνος να περιποιηθεί τη διατύπωσή του, να βρει πιθανές καλύτερες εναλλακτικές, να κάνει ένα σχήμα ή ό,τι άλλο μπορεί να τον ξεχωρίσει. Τότε μάλιστα, θα εξετάζαμε και την ουσία και την λεπτομέρεια, ενώ τώρα εξετάζουμε πάνω από όλα την ψυχραιμία και την ταχύτητα. Χρήσιμα είναι κι αυτά, αλλά όχι τα βασικότερα για να δούμε αν κάποιος έχει το μυαλό να σπουδάσει...

Καλή η καραμέλα ότι χρειαζόμαστε τα πανδύσκολα για να ξεχωρίσουν οι άριστοι, αλλά δεν έχουν μόνο οι άριστοι δικαίωμα στις σπουδές. Ισοπεδώνουμε τους καλούς με τους μέτριους και τους μέτριους με τους κακούς...

parmenides51 · #157

MarKo έγραψε:
Nikolas13 έγραψε:
thete έγραψε:Το θέμα Γ είναι δωράκι στους μαθητές. Στο Γ1 μια εύκολη αντιπαραγώγιση θέτω συνάρτηση βρίσκω πρόσημο και απορρίπτω τη μια λύση. Στο Γ2 βγάζω την f 1-1 και λύνω horner.Στο Γ3 πάλι εύκολη αντιπαραγώγηση στο πρόχειρο για να βρόυμε την αρχική που είναι ημίτονο επι ολοκλήρωμα και ένα Rolle.
Μάλλον θα το έχανες το δωράκι. Ας είμαστε πιο σεμνοί στις κρίσεις μας.
Δηλαδή πως το έκανες;
Δεν βγαίνει με Ηorner το Γ2.

επειδή μάλλον δεν προσέξατε τις προηγούμενες δημοσιεύσεις, το παραπάνω μέλος thete δήλωσε παρακάτω, εδώ
πως έκανε λάθος στις πράξεις και συμφώνησε πως τελικά βγαίνει με σύνολο τιμών.

zorba_the_freak · #158

sokratis lyras έγραψε:
zorba_the_freak έγραψε:Μια ακόμα παρατήρηση. Ανέβηκε αρκετά ο πήχης στους μιγαδικούς. Δε νομίζω να ήταν θέμα τυποποιημένο και σαφώς έχει μια ποιοτική διαφορά σε σχέση με τα θέματα των προηγούμενων ετών. Δε φτάνει ο μαθητής να είχε λύσει ασκήσεις...έπρεπε να ξέρει και να αυτοσχεδιάσει, (ερώτημα τρίτο).
Ναι,όντως.Στο σχολείο μου δεν έλυσε κανείς το Β3...
Και αρκετοί φάγανε και τα μούτρα τους, επειδή θεωρούσαν ότι στο Β θέμα πρέπει να πάρουν 25/25.
Πάντως, σε γενικές γραμμές , τα θέματα ήταν καλά νομίζω.

Νομίζω ότι με το Β3 καταρρίπτεται το 25/25 στο δεύτερο θέμα! Και στο σχολείο μου μία απ τα ίδια...το Β3 τσάκισε κόσμο! Απ του χρόνου θα ψάχουμε για ''ασκησάρες'' στους μιγαδικούς....ξεσκονίστε τις σημειώσεις που είχαμε επί δεσμών!

Nikolas13 · #159

lpap έγραψε:Θα ήθελα να προσθέσω το εξής: Η δυσκολία των θεμάτων είναι προφανώς συνάρτηση του περιορισμένου χρόνου. Αν είχαμε δυο μέρες όλα θα τα λύναμε. Για μένα, θα έπρεπε ένας ΜΕΣΟΣ καθηγητής να λύνει ΠΛΗΡΩΣ (με αιτιολόγηση και γραπτώς) τα θέματα των εξετάσεων σε 1 ώρα, (κάτι που δε συμβαίνει, ας το παραδεχτούμε...), ένας πολύ καλός μαθητής πάνω-κάτω σε 3 ώρες και ένας άριστος μαθητής σε 2 ώστε να του μείνει και χρόνος να περιποιηθεί τη διατύπωσή του, να βρει πιθανές καλύτερες εναλλακτικές, να κάνει ένα σχήμα ή ό,τι άλλο μπορεί να τον ξεχωρίσει. Τότε μάλιστα, θα εξετάζαμε και την ουσία και την λεπτομέρεια, ενώ τώρα εξετάζουμε πάνω από όλα την ψυχραιμία και την ταχύτητα. Χρήσιμα είναι κι αυτά, αλλά όχι τα βασικότερα για να δούμε αν κάποιος έχει το μυαλό να σπουδάσει...

Καλή η καραμέλα ότι χρειαζόμαστε τα πανδύσκολα για να ξεχωρίσουν οι άριστοι, αλλά δεν έχουν μόνο οι άριστοι δικαίωμα στις σπουδές. Ισοπεδώνουμε τους καλούς με τους μέτριους και τους μέτριους με τους κακούς...

Συμφωνώ απολύτως, κυρίως με τα υπογραμμισμένα.

MarKo · #160

parmenides51 έγραψε:
MarKo έγραψε:
Nikolas13 έγραψε:
thete έγραψε:Το θέμα Γ είναι δωράκι στους μαθητές. Στο Γ1 μια εύκολη αντιπαραγώγιση θέτω συνάρτηση βρίσκω πρόσημο και απορρίπτω τη μια λύση. Στο Γ2 βγάζω την f 1-1 και λύνω horner.Στο Γ3 πάλι εύκολη αντιπαραγώγηση στο πρόχειρο για να βρόυμε την αρχική που είναι ημίτονο επι ολοκλήρωμα και ένα Rolle.
Μάλλον θα το έχανες το δωράκι. Ας είμαστε πιο σεμνοί στις κρίσεις μας.
Δηλαδή πως το έκανες;
Δεν βγαίνει με Ηorner το Γ2.
επειδή μάλλον δεν προσέξατε τις προηγούμενες δημοσιεύσεις, το παραπάνω μέλος thete δήλωσε παρακάτω, εδώ
πως έκανε λάθος στις πράξεις και συμφώνησε πως τελικά βγαίνει με σύνολο τιμών.

ok τώρα το είδα . Ευχαριστώ parmenidis

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2013

Μέλη σε σύνδεση