ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

nikoszan · #1

Για την δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left[ {1, + \infty } \right) \to R$ ισχύει
1) $f\left( 1 \right) = 0$
2) $f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {1, + \infty } \right)$
3) $f''\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {1, + \infty } \right)$
Ν.Δ.Ο. $\int\limits_2^3 {\frac{{f\left( {{x^3}} \right)f\left( {4{x^2}} \right)}}{{f\left( x \right)f\left( {2x} \right)}}} dx > 60$

#2

Επαναφορά (λόγω προσωρινής απόσυρσης)

kostas_zervos · #3

Έστω $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x-1}\;,\;x>1$ . Η

είναι συνεχής στο $(1,+\infty)$ και παραγωγίσιμη σ' αυτό με $\displaystyle g'(x)=\frac{f'(x)(x-1)-f(x)}{(x-1)^2}$ (1).

Έστω h(x)=f'(x)(x-1)-f(x)

με $x\in[1,+\infty)$ η

είναι συνεχής στο $[1,+\infty)$ και παραγωγίσιμη στο $(1,+\infty)$ με h'(x)=f''(x)(x-1)>0

για κάθε

, άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$ , επομένως για x>1

έχουμε

και από την (1) $g'(x)>0\;,\;x>1$ .

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(1,+\infty)$ .

Για $x\in[2,3]$ είναι x^3>x

, άρα $\displaystyle g(x^3)>g(x) \Leftrightarrow \frac{f(x^3)}{x^3-1}>\frac{f(x)}{x-1}$ και επειδή $f(x)>0\;,\;x^3-1>0\;,\;x-1>0$ θα έχουμε $\displaystyle \frac{f(x^3)}{f(x)}>\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1$ (2).

Για $x\in[2,3]$ είναι x^2>x

, άρα $\displaystyle g(x^2)>g(x) \Leftrightarrow g((2x)^2)>g(2x) \Leftrightarrow \frac{f(4x^2)}{4x^2-1}>\frac{f(2x)}{2x-1}$ και επειδή $f(x)>0\;,\;4x^2-1>0\;,\;2x-1>0$ θα έχουμε $\displaystyle \frac{f(4x^2)}{f(2x)}>\frac{4x^2-1}{2x-1}=2x+1$ (3).

Από τις (2) , (3) έχουμε $\displaystyle \frac{f(x^3)f(4x^2)}{f(x)f(2x)}>(x^2+x+1)(2x+1)\;,\;x\in[2,3]$ , άρα $\displaystyle \int_{2}^{3} \frac{f(x^3)f(4x^2)}{f(x)f(2x)}dx>\int_{2}^{3}(x^2+x+1)(2x+1)dx=\dots=60$ .

Να κάνω μια παρατήρηση με αφορμή τα όσα λέγονται για τα θέματα των πανελληνίων σε συνδυασμό με την παραπάνω άσκηση.

Για να βρω τη συνάρτηση $\color{red}g$ που χρησιμοποίησα έφαγα αρκετό χρόνο σε δοκιμές και παρατήρησα ότι η συνάρτηση $\color{red}\phi(x)=x-1$ είναι εκείνη για την οποία το ολοκλήρωμα γίνεται $\color{red}60$ και δεν ικανοποιεί οριακά τις συνθήκες του προβλήματος....

Το παραπάνω θέμα τυπικά είναι μέσα την ύλη της Γ Λυκείου (μάλιστα θεωρώ πολύ περισσότερο από το φημισμένο Β3 το οποίο στην ουσία δεν είχε σχέση με μιγαδικούς) και όπως βλέπετε ο θεματοδότης (nikoszan) καλώς το έβαλε σε αυτό το φάκελο.

Θεωρείτε όσοι υποστηρίζετε ότι καλώς μπήκε το Β3 , ότι και το παραπάνω θα μπορούσε να είναι θέμα Πανελληνίων;

nikoszan · #4

Κώστα

και για το σχόλιο.
Ν.Ζ.

#5

Μια άλλη λύση

$\displaystyle{f(x)-0=(x-1)f'(u),f(x^3)-0=(x^3-1)f'(v)}$

και αφού $\displaystyle{f}$ κυρτή είναι γνωστό (πχ στην εργασία μου "γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας" που βρίσκεται στον Εκθέτη του Ν.Μαυρογιάννη σχέση [69]) ότι αφού

$\displaystyle{x^3>x\Rightarrow v>u \Rightarrow f'(v)>f'(u)}$ όταν $\displaystyle{f}$ κυρτή

άρα $\displaystyle{\frac{f(x^3)}{f(x)}>\frac{x^3-1}{x-1}}$ και όμοια $\displaystyle{\frac{f(4x^2)}{f(2x)}>\frac{4x^2-1}{2x-1}}$

και συνεχίζουμε όπως ο Κώστας...
Με τον ιδιο τρόπο νομίζω ότι μπορεί να βρεθεί λύση κσι για το Δ2 , φυσικά εκτός υλης των εξετάσεων

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Μέλη σε σύνδεση