Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

parmenides51 · #1

Συνεχίζω να προτείνω για να έχουμε λυμένες στο μέλλον στο

τις ασκήσεις από τα παλιότερα θέματα των εξετάσεων,
όλα τα θέματα συγκεντρώνονται στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων.

1. α) Να αποδειχθεί ότι η τετμημένη καθώς και η τεταγμένη του αθροίσματος $\vec{\alpha }+\vec{\beta }$ δυο διανυσμάτων $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ ισούται με το άθροισμα των τετμημένων και αντίστοιχα των τεταγμένων των διανυσμάτων $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ .
β) Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας $\displaystyle{(\varepsilon)}$ που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{M(1,-1)}$ και είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση 5x-9y+12=0

.

2. α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε μια θέση ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της ;
β) Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις με τύπους
i) $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{4x^2-9x+2}{x-2} &, x\in\mathbb{R}-\{2\} \\ 7 & , x=2 \end{matrix}\right}}$ στη θέση ${{x}_{0}}=2$
ii) $\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} x &, x\ge 0 \\ \displaystyle\frac{1}{x} & , x<0 \end{matrix}\right}}$ στη θέση ${{x}_{0}}=0$

3. α) Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $({{x}_{0}}-\varepsilon ,{{x}_{0}}+\varepsilon )$ .
i) Να αναφέρετε τι λέγεται παράγωγος της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο σημείο ${{x}_{0}}$
ii) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας της εφαπτομένης σε ένα σημείο $M({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τύπο y=f(x)

.
β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο $\displaystyle{(1,1)}$ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο $y={{x}^{3}}$ .

4. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f(x)={{x}^{2}}-\left| x \right|-2$ . Να γίνει μελέτη και πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.

Christos75 · #2

1.
α) Να αποδειχθεί ότι η τετμημένη καθώς και η τεταγμένη του αθροίσματος $\vec{\alpha }+\vec{\beta }$ δυο διανυσμάτων $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ ισούται με το άθροισμα των τετμημένων και αντίστοιχα των τεταγμένων των διανυσμάτων $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ .
β) Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας $\displaystyle{(\varepsilon)}$ που διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{M(1,-1)}$ και είναι παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση 5x-9y+12=0.

α) Είναι θεωρία.

β) Η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση $(\eta ): y-y_{m}=k(x-x_{m})$ όπου k ο συντελεστής διεύθυνσης αυτής. Κατά συνέπεια,
αφού η ζητούμενη ευθεία είναι παράλληλα στην δοσμένη τότε $k=\frac{5}{9}$ .
Oπότε, η ζητούμενη ευθεία είναι: $y-(-1)=\frac{5}{9}(x-1)$ ή $y+1=\frac{5}{9}(x-1)$ ή τελικά : $(\eta ): 5x-9y-14=0$

Christos75 · #3

3. α) Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη σε ένα διάστημα της μορφής $({{x}_{0}}-\varepsilon ,{{x}_{0}}+\varepsilon )$ .
i) Να αναφέρετε τι λέγεται παράγωγος της συνάρτησης $\displaystyle{f}$ στο σημείο ${{x}_{0}}$
ii) Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας της εφαπτομένης σε ένα σημείο $M({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$ της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης με τύπο y=f(x)

.
β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που εφάπτεται στο σημείο $\displaystyle{(1,1)}$ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τύπο $y={{x}^{3}}$ .

i) Θεωρία.

ii) Η εξίσωση εφαπτομένης σ'ενα σημείο της $M(x_{0},y_{0})$ γραφικής παράστασης f δίνεται από τον τύπο: $y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})$ .

iii) Σύμφωνα με τη παραπάνω θεωρία του ερωτήματος ii) έχουμε για την εξίσωση εφαπτομένης της $f(x)=x^{3}$ :

y-f(1)=f'(1)(x-1)

δηλαδή: $y-1=3.1^{2}(x-1)$ και ύστερα από πράξεις προκύπτει ότι η ζητούμενη εξίσωση είναι: $(\varepsilon) 3x-y-2=0$

Εννοείται ότι $f'(x)=(x^{3})'=3x^{2}$ .

Christos75 · #4

2. α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε μια θέση ${{x}_{0}}$ του πεδίου ορισμού της ;
β) Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις με τύπους
i) $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle\frac{4x^2-9x+2}{x-2} &, x\in\mathbb{R}-\{2\} \\ 7 & , x=2 \end{matrix}\right}}$ στη θέση ${{x}_{0}}=2$
ii) $\displaystyle{g(x)=\left\{\begin{matrix} x &, x\ge 0 \\ \displaystyle\frac{1}{x} & , x<0 \end{matrix}\right}}$ στη θέση ${{x}_{0}}=0$

Θε μελετήσουμε την συνέχεια σε καθεμία από τις δοσμένες συναρτήσεις.
Αρχικά για την συνάρτηση f θα έχουμε:

Για κάθε $x\in \mathbb{R}-\left \{ 2 \right \}$ θα έχουμε
$\displaystyle{f(x)=\frac{4x^{2}-9x+2}{x-2}}$ . Στο τριώνυμο που βρίσκεται στον αριθμητή υπολογίζουμε την διακρίνουσα: $D=b^{2}-4ac=(-9)^{2}-4.4.2=81-32=49>0$
Συνεπώς: $x_{1}=\frac{1}{4}$ και $x_{2}=2$ . Άρα το η f γίνεται τελικά παραγοντοποιώντας το τριώνυμο: $\displaystyle{f(x)=\frac{4(x-\frac{1}{4})(x-2)}{x-2}}$
Δηλαδή : $\displaystyle{f(x)=4(x-\frac{1}{4})}$
Άρα: $\lim f(x)=\lim4(x-\frac{1}{4})=7=f(2)$ καθώς $x\rightarrow 2$
Συνεπώς, η f είναι συνεχής συνάρτηση αφού στο υπόλοιπο διάστημα είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων.

Εξετάζουμε τώρα την συνάρτηση g με πιθανό σημείο ασυνέχειας το 0.

$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^{+}}(x)=0=f(0)$
$\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)= \lim_{x\rightarrow 0^{-}}(\frac{1}{x})=apeiro \neq f(0)$

Άρα λοιπόν ισχύει: $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)$ οπότε, η g δεν είναι συνεχής στο 0.

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $f(x)={{x}^{2}}-\left| x \right|-2$ . Να γίνει μελέτη και πρόχειρη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.

διαφορετικά

$f(x)={{x}^{2}}-\left| x \right|-2==\left\{\begin{matrix} x^2-x-2 & , x\ge 0 \\ x^2-(-x)-2 & , x <0 \end{matrix}\right}=\left\{\begin{matrix} x^2-x-2 & , x\ge 0 \\ x^2+x-2 & , x <0 \end{matrix}\right}}$

οπότε σχεδιάζουμε δυο παραβολές,
μια για μη αρνητικές τιμές του $\displaystyle{x}$ , την $\displaystyle{y_1=x^2-x-2}$ στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$
μια για αρνητικές τιμές του $\displaystyle{x}$ , την $\displaystyle{y_2=x^2-x-2}$ στο $\displaystyle{(-\infty,0)}$ (προφανώς στο μηδέν οι παραβολές τέμνονται)
η ένωση των δυο αυτών γραφικών παραστάσεων είναι η ζητούμενη γραφική παράσταση

Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1983

Μέλη σε σύνδεση