B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1983

parmenides51 · #1

Στο τίτλο έγραφε ''για βελτίωση βαθμολογίας''.

1. Δίνεται το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (1-\lambda )x-2\lambda y=2 \\ 2\lambda x+(\lambda -1)y=\lambda -4 \end{matrix}\right.}$ ( $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ , παράμετρος).
Να οριστεί το σύνολο των τιμών της παραμέτρου $\displaystyle{\lambda}$ που καθεμιά τους είναι τέτοια ώστε το σύστημα να έχει
μια μοναδική λύση έστω $\displaystyle{(\xi, \eta)}$ που να ικανοποιεί τη συνθήκη $\displaystyle{ \xi+ \eta>1}$ .

2. α) Να αποδειχθεί ότι αν για τις γωνίες $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{A+B+\Gamma=\pi}$ τότε θα ισχύει $\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}A +\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}B+\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\Gamma +2\sigma \upsilon \nu A\,\sigma \upsilon \nu B \,\sigma \upsilon \nu \Gamma =1$
β) Να αποδειχθεί ότι ισχύει $\sigma \upsilon {{\nu }^{4}}\frac{\pi }{8}+\sigma \upsilon {{\nu }^{4}}\frac{3\pi }{8}=\frac{3}{4}$ .

3. Έστω τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και η διάμεσός του $\displaystyle{A\Delta}$ . Έστω ότι μια παράλληλη της $\displaystyle{A\Delta}$ τέμνει την $\displaystyle{AB}$ στο $\displaystyle{\Gamma'}$ ,
την $\displaystyle{B\Gamma}$ στο $\displaystyle{A'}$ και τη $\displaystyle{A\Gamma}$ στο $\displaystyle{B'}$ . Να αποδειχθεί ότι ισχύει $\displaystyle{\frac{A {\Gamma }'}{AB'}=\frac{AB}{A\Gamma}}$ .

4.α) Να αποδειχθεί ότι ισχύει: $\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\le \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ , όπου ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ συμβολίζουν μιγαδικούς αριθμούς. Σε ποια περίπτωση ισχύει το ίσον;
β) Έστω $\displaystyle{\omega}$ με ${{\omega }^{3}}=1,\,\,\omega \in \mathbb{C},\,\,\omega \ne 1$ . Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης $\Kappa =(1-\omega )(1-{{\omega }^{2}})(1-{{\omega }^{4}})(1-{{\omega }^{5}})$ .

#2

parmenides51 έγραψε:2. α) Να αποδειχθεί ότι αν για τις γωνίες $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{A+B+\Gamma=\pi}$ τότε θα ισχύει $\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}A +\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}B+\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\Gamma +2\sigma \upsilon \nu A\,\sigma \upsilon \nu B \,\sigma \upsilon \nu \Gamma =1$
β) Να αποδειχθεί ότι ισχύει $\sigma \upsilon {{\nu }^{4}}\frac{\pi }{8}+\sigma \upsilon {{\nu }^{4}}\frac{3\pi }{8}=\frac{3}{4}$ .

(a) $\displaystyle{A+B+\Gamma =\pi \Rightarrow A+B=\pi -\Gamma \Rightarrow \sigma \upsilon \nu (A+B)=\sigma \upsilon \nu (\pi -\Gamma) \Rightarrow}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B - \eta \mu A \eta \mu B=-\sigma \upsilon \nu \Gamma \Rightarrow}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B +\sigma \upsilon \nu \Gamma =\eta \mu A \eta \mu B\Rightarrow}$

$\displaystyle{(\sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B +\sigma \upsilon \nu \Gamma )^2 =(\eta \mu A \eta \mu B )^2 \Rightarrow}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu ^2 A \sigma \upsilon \nu ^2 B +\sigma \upsilon \nu ^2 \Gamma +2\sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma =\eta \mu ^2 A \eta \mu ^2 B \Rightarrow}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu ^2 A \sigma \upsilon \nu ^2 B +\sigma \upsilon \nu ^2 \Gamma +2\sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma =(1-\sigma \upsilon \nu ^2 A)(1-\sigma \upsilon \nu ^2 B)\Rightarrow}$

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu ^2 A +\sigma \upsilon \nu ^2 B +\sigma \upsilon \nu ^2 \Gamma +2\sigma \upsilon \nu A \sigma \upsilon \nu B \sigma \upsilon \nu \Gamma =1}$

(β) $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu ^4 \frac{\pi}{8}+\sigma \upsilon \nu ^4 \frac{\pi}{8}=(\frac{1+\sigma \ypsilon \nu \frac{\pi}{4}}{2})^2 +(\frac{1+\sigma \upsilon \nu \frac{3\pi}{4}}{2})^2 =}$

$\displaystyle{=\frac{(2+\sqrt{2})^2}{16}+\frac{(2-\sqrt{2})^2}{16}=\frac{3}{4}}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1983

B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1983

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1983

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1983

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1983

Re: B' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΥΠΟΣ B' 1983

Μέλη σε σύνδεση