Δ' ΔΕΣΜΗ 1987

parmenides51 · #1

1. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:A \to B }$ όπου $A \subseteq \mathbb{R}$ και $B \subseteq \mathbb{R}$ και $A\ne \varnothing$ . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται γνησίως αύξουσα;
ii) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται γνησίως φθίνουσα;
iii) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται αύξουσα;
iv) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται φθίνουσα;
v) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται « συνάρτηση επί»;
β) i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{A(4,-3)}$ και $\displaystyle{B(-2,5)}$
ii) Να βρείτε το $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ έτσι ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{\Gamma(-3,2\lambda-1)}$ .

2. α) Έστω $\bar{x}$ η μέση τιμή της μεταβλητής $\displaystyle{X}$ ως προς τη οποία εξετάζουμε ένα δείγμα.
Να αποδειχθεί ότι η μέση τιμή $\bar{y}$ της μεταβλητής $Y=\alpha X+\beta$ ( $\displaystyle{\alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ ) είναι $\bar{y}=\alpha \cdot \bar{x}+\beta$ .
β) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\begin{vmatrix} \alpha & \beta+1& 1\\ \beta & \alpha+1 & 1\\ \alpha+ \beta & 1 & 1 \end{vmatrix}=0}}$

3. Να βρεθούν οι τιμές των $\displaystyle{\lambda}$ και $\displaystyle{\mu}$ για τις οποίες τα συστήματα
$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (2\lambda -1)x+10\mu y=3 \\ 2x+4y =5 \end{matrix}\right} }$ και $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (\lambda -2)x-(\mu +1)y=7 \\ 3x-6y =5 \end{matrix}\right} }$ είναι συγχρόνως αδύνατα.

4. α) Να αποδειχθεί ότι αν μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο ${{x}_{0}}$ τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό.
β) Έστω $\displaystyle{C_f}$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με $f(x)=\alpha {{x}^{3}}+\beta {{x}^{2}}+9x-12$ .
Να προσδιορίσετε τα $\displaystyle{\alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ έτσι ώστε το σημείο $\displaystyle{A(2,-10)}$ να ανήκει στην $\displaystyle{C_f}$
και η εφαπτομένη της $\displaystyle{C_f}$ στο σημείο $\displaystyle{A}$ να έχει συντελεστή διευθύνσεως τον αριθμό $\displaystyle{–3}$ .

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:

2. α) Έστω $\bar{x}$ η μέση τιμή της μεταβλητής $\displaystyle{X}$ ως προς τη οποία εξετάζουμε ένα δείγμα.
Να αποδειχθεί ότι η μέση τιμή $\bar{y}$ της μεταβλητής $Y=\alpha X+\beta$ ( $\displaystyle{\alpha ,\beta \in \mathbb{R}}$ ) είναι $\bar{y}=\alpha \cdot \bar{x}+\beta$ .
β) Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\begin{vmatrix} \alpha & \beta+1& 1\\ \beta & \alpha+1 & 1\\ \alpha+ \beta & 1 & 1 \end{vmatrix}=0}}$

α)Θεωρία

β)Αν συμβολίσουμε με $\displaystyle{\Gamma_{i}\,\,,i=1,2,3}$ τις γραμμές, τότε εκτελώντας τις γραμμοπράξεις

$\displaystyle{\Gamma_{2}\to \Gamma_{2}-\Gamma_{1}\,\,\,,\Gamma_{3}\to \Gamma_{3}-\Gamma_{1}}$ η ορίζουσα γίνεται

$\displaystyle{\begin{vmatrix} \alpha & \beta+1 & 1\\ \beta-\alpha & \alpha-\beta & 0\\ \beta & -\beta & 0 \end{vmatrix}=(-1)^{1+3}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix} \beta-\alpha & \alpha-\beta\\ \,\,\,\beta & \,\,\,-\beta \end{vmatrix}=-\beta(\beta-\alpha)-\beta(\alpha-\beta)=0}$

#3

BAGGP93 έγραψε: β)Αν συμβολίσουμε με $\displaystyle{\Gamma_{i}\,\,,i=1,2,3}$ τις γραμμές, τότε εκτελώντας τις γραμμοπράξεις

$\displaystyle{\Gamma_{2}\to \Gamma_{2}-\Gamma_{1}\,\,\,,\Gamma_{3}\to \Gamma_{3}-\Gamma_{1}}$ η ορίζουσα γίνεται

$\displaystyle{\begin{vmatrix} \alpha & \beta+1 & 1\\ \beta-\alpha & \alpha-\beta & 0\\ \beta & -\beta & 0 \end{vmatrix}=(-1)^{1+3}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix} \beta-\alpha & \alpha-\beta\\ \,\,\,\beta & \,\,\,-\beta \end{vmatrix}=-\beta(\beta-\alpha)-\beta(\alpha-\beta)=0}$

Ή λίγο συντομότερα, προσθέτουμε τη δεύτερη στήλη στην πρώτη και βλέπουμε ότι η προκύπτουσα είναι ανάλογη με την τρίτη. Άρα η ορίζουσα ισούται με μηδέν.

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

Christos75 · #5

1. α) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f:A \to B }$ όπου $A \subseteq \mathbb{R}$ και $B \subseteq \mathbb{R}$ και $A\ne \varnothing$ . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται γνησίως αύξουσα;
ii) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται γνησίως φθίνουσα;
iii) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται αύξουσα;
iv) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται φθίνουσα;
v) Πότε η $\displaystyle{f}$ λέγεται « συνάρτηση επί»;
β) i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{A(4,-3)}$ και $\displaystyle{B(-2,5)}$
ii) Να βρείτε το $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ έτσι ώστε η παραπάνω ευθεία να διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{\Gamma(-3,2\lambda-1)}$ .

Λύση

α)
i) Θεωρία
ii) Θεωρία
iii)Θεωρία
iv) Θεωρία
v) Θεωρία

β)
Βρίσκουμε πρώτα απ'όλα τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A, B

.

Είναι λοιπόν: $\displaystyle{\lambda _{AB}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}=\frac{5-(-3)}{-2-4}=-\frac{4}{3}}$

Συνεππως η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A, B

είναι: $\displaystyle{y-y_{A}=\lambda _{AB}(x-x_{A})\Leftrightarrow y-(-3)=-\frac{4}{3}(x-4)\Leftrightarrow 4x+3y-7=0}$

Εφόσον η ευθεία διέρχεται από το σημείο $\Gamma$ ισχύει: $\displaystyle{4(-3)+3(2\lambda -1)-7=0\Leftrightarrow \lambda =\frac{11}{3}}$

orestisgotsis · #6

ΠΕΡΙΤΤΑ

Δ' ΔΕΣΜΗ 1987

Δ' ΔΕΣΜΗ 1987

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1987

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1987

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1987

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1987

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1987

Μέλη σε σύνδεση