ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\left|\frac{\eta \mu \lambda x}{\eta \mu x}\right|\le \lambda}$ αν $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{N}}$ και $\displaystyle{x\ne \kappa\pi}$ όπου $\displaystyle{\kappa \in \mathbb{Z}}$

2. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\eta \mu \theta+ \eta \mu 2\theta + \eta \mu 3\theta + ...+ \eta \mu \nu \theta+ {\color{red}\frac{1}{2}} \eta \mu(\nu +1) \theta\ge 0 }$ αν $\displaystyle{0 <\theta <\pi }$ .

3. Αν ισχύει οτι $\displaystyle{ \kappa \eta \mu y = \eta \mu(2x + y) }$ να δειχθεί ότι $\displaystyle{\varepsilon \phi(x + y) = \frac{ \kappa +1}{ \kappa -1}\varepsilon \phi x}$ και
αντίστροφα με δεδομένο ότι $\displaystyle{\kappa \ne 1 }$ και $\displaystyle{x\ne \lambda \pi +\frac{\pi}{2}}$ , όπου $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{Z}}$ . Να γίνει διερεύνηση .

edit
προστέθηκε ένας συντελεστής στο 2ο θέμα

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να δειχθεί οτι $\displaystyle{\left|\frac{\eta \mu \lambda x}{\eta \mu x}\right|\le \lambda}$ αν $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{N}}$ και $\displaystyle{x\ne \kappa\pi}$ όπου $\displaystyle{\kappa \in \mathbb{Z}}$

εδώ

kleovoulos · #3

parmenides51 έγραψε:

2. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\eta \mu \theta+ \eta \mu 2\theta + \eta \mu 3\theta + ...+ \eta \mu \nu \theta+ \eta \mu(\nu +1) \theta\ge 0 }$ αν $\displaystyle{0 <\theta <\pi }$ .

Yπήρχε λάθος στην εκφώνηση και έτσι η απάντησή μου δεν είναι πλήρης/σωστή.

kostas_zervos · #4

parmenides51 έγραψε: 2. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\eta \mu \theta+ \eta \mu 2\theta + \eta \mu 3\theta + ...+ \eta \mu \nu \theta+ \eta \mu(\nu +1) \theta\ge 0 }$ αν $\displaystyle{0 <\theta <\pi }$ .

Νομίζω ότι υπάρχει κάποιο λάθος.

π.χ. για $\nu=2$ ,θα πρέπει $\sin \theta+\sin 2\theta+\sin 3\theta\geq 0$ .
Στο παρακάτω σχήμα έχουμε την $f(x)=\sin x+\sin 2x+\sin 3x$ .

: ask64.png (3.81 KiB) Προβλήθηκε 1004 φορές

Δεν ισχύει $f(x)\geq 0$ για κάθε $0<x<\pi$ (π.χ. $\displaystyle f\left(\frac{5\pi}{8}\right)\simeq -1.66$ ).

parmenides51 · #5

έχεις δίκιο

μου ξέφυγε ο συντελεστής $\displaystyle{ \frac{1}{2}}$ στον τελευταίο προσθετέο

το διορθώνω

ευτυχώς με την επίλυση τους γλιτώνουμε από λάθη κατά την μεταφορά

ζητώ συγνώμη από όσους ταλαιπώρησα

kostas_zervos · #6

parmenides51 έγραψε: 2. Να δειχθεί ότι $\displaystyle{\eta \mu \theta+ \eta \mu 2\theta + \eta \mu 3\theta + ...+ \eta \mu \nu \theta+ \frac{1}{2}\eta \mu(\nu +1) \theta\ge 0 }$ αν $\displaystyle{0 <\theta <\pi }$ .

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

$\displaystyle \eta \mu \theta+\eta \mu 2\theta+\cdots+\eta \mu \nu\theta=\frac{\displaystyle \eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\eta \mu \frac{\nu\theta}{2}}{\displaystyle \eta\mu\frac{\theta}{2}}\;(1)$ .
(Υπήρχε στη θεωρία;)

Άρα αρκεί να δείξουμε ότι
$\displaystyle \frac{\displaystyle \eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\eta \mu \frac{\nu\theta}{2}}{\displaystyle \eta\mu\frac{\theta}{2}}+\frac{1}{2}\eta\mu(\nu+1)\theta\geq 0 \iff$

$\iff \displaystyle \frac{\displaystyle \eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\eta \mu \frac{\nu\theta}{2}}{\displaystyle \eta\mu\frac{\theta}{2}}+\eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\geq 0 \iff$

$\iff \displaystyle \eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\eta \mu \frac{\nu\theta}{2}+\eta\mu\frac{\theta}{2}\eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\geq 0 \iff\;\;\;\;\;\;$ (επειδή $\displaystyle \eta\mu\frac{\theta}{2}>0$ )

$\iff \displaystyle \eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\left[\eta \mu \frac{\nu\theta}{2}+\eta\mu\frac{\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\right]\geq 0 \iff$

$\iff \displaystyle \eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\left[\eta \mu \frac{\nu\theta}{2}+\eta\mu\frac{\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\nu\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\theta}{2}-\eta\mu^2\frac{\theta}{2}\eta\mu\frac{\nu\theta}{2}\right]\geq 0 \iff$

$\iff \displaystyle \eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\left[\eta \mu \frac{\nu\theta}{2}\left(1-\eta\mu^2\frac{\theta}{2}\right)+\eta\mu\frac{\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\nu\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\theta}{2}\right]\geq 0 \iff$

$\iff \displaystyle \eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\left[\eta \mu \frac{\nu\theta}{2}\sigma\upsilon\nu^2\frac{\theta}{2}+\eta\mu\frac{\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\nu\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\theta}{2}\right]\geq 0 \iff$

$\iff \displaystyle \eta\mu\frac{(\nu+1)\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\theta}{2}\left[\eta \mu \frac{\nu\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\theta}{2}+\eta\mu\frac{\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\nu\theta}{2}\right]\geq 0 \iff$

$\iff \displaystyle \eta\mu^2\frac{(\nu+1)\theta}{2}\sigma\upsilon\nu\frac{\theta}{2}\geq 0 \iff$ που ισχύει γιατί $\displaystyle 0<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2}$ .

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση