ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. α) Να λυθεί η εξίσωση ${{z}^{\nu }}+1=0,\,\,\nu \in \mathbb{N}^*$
β) Αν $\displaystyle{z+\frac{1}{z}=x}$ , να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{{{z}^{\nu }}+\frac{1}{{{z}^{\nu }}}}$ με $\nu \in \mathbb{N}^*$ είναι ένα πολυώνυμο ${{P}_{\nu }}(x)$ βαθμού $\displaystyle{\nu}$
(χρησιμοποιείστε προαιρετικά Μαθηματική επαγωγή)
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ${{P}_{\nu }}(x)=0$ έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες και να τις βρείτε.

2. Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb{Q}_{+}^{*}\to \mathbb{R}$ με f(xy)=f(x)+f(y)

για κάθε $x,y\in \mathbb{Q}_{+}^{*}$
α) Να δείξετε ότι f(1)=0

β) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(\frac{1}{\rho })=-f(\rho )}$ , για κάθε $\rho \in \mathbb{Q}_{+}^{*}$
γ) Υποθέτουμε ακόμα ότι ο μοναδικός θετικός ρητός αριθμός $\displaystyle{t}$ , για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{f(t)=0}$ είναι ο $\displaystyle{t=1}$ .
Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ρητοί αριθμοί $\displaystyle{\rho}$ και $\displaystyle{ \tau}$ με $\rho \ne \tau$ και $\displaystyle{f(\rho)=f(\tau)}$ .

3. α) Να λυθεί η εξίσωση $\sigma \tau \epsilon \mu \vartheta = \sigma \tau \epsilon \mu 2\vartheta + \sigma \tau \epsilon \mu 3\vartheta .$
β) Αν $AB\varGamma\varDelta EZH$ είναι ένα κανονικό επτάγωνο, να δείξετε τριγωνομετρικά ότι $\dfrac{1}{AB} = \dfrac{1}{A\varGamma} + \dfrac{1}{A\varDelta}.$

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. α) Να λυθεί η εξίσωση ${{z}^{\nu }}+1=0,\,\,\nu \in \mathbb{N}^*$
β) Αν $\displaystyle{z+\frac{1}{z}=x}$ , να δείξετε ότι η παράσταση $\displaystyle{{{z}^{\nu }}+\frac{1}{{{z}^{\nu }}}}$ με $\nu \in \mathbb{N}^*$ είναι ένα πολυώνυμο ${{P}_{\nu }}(x)$ βαθμού $\displaystyle{\nu}$
(χρησιμοποιείστε προαιρετικά Μαθηματική επαγωγή)
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ${{P}_{\nu }}(x)=0$ έχει όλες τις ρίζες της πραγματικές και άνισες και να τις βρείτε.

εδώ και η λύση του υποψήφιου τότε Νίκου Ζανταρίδη εδώ

parmenides51 έγραψε: 2. Έστω μια συνάρτηση $f:\mathbb{Q}_{+}^{*}\to \mathbb{R}$ με για κάθε $x,y\in \mathbb{Q}_{+}^{*}$
α) Να δείξετε ότι
β) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(\frac{1}{\rho })=-f(\rho )}$ , για κάθε $\rho \in \mathbb{Q}_{+}^{*}$
γ) Υποθέτουμε ακόμα ότι ο μοναδικός θετικός ρητός αριθμός $\displaystyle{t}$ , για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{f(t)=0}$ είναι ο $\displaystyle{t=1}$ .
Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ρητοί αριθμοί $\displaystyle{\rho}$ και $\displaystyle{ \tau}$ με $\rho \ne \tau$ και $\displaystyle{f(\rho)=f(\tau)}$ .

εδώ

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:3. α) Να λυθεί η εξίσωση $\sigma \tau \epsilon \mu \vartheta = \sigma \tau \epsilon \mu 2\vartheta + \sigma \tau \epsilon \mu 3\vartheta .$

ενημερωτικά (μόλις το είδα κι εγώ στο ίντερνετ, δεν το είχα ξαναπετύχει)

$\displaystyle{ \tau \epsilon \mu \vartheta =\frac{1}{\sigma \upsilon \nu \theta }}$ και διαβάζεται ''τέμνουσα θ''

$\displaystyle{\sigma \tau \epsilon \mu \vartheta =\frac{1}{\eta \mu \theta }}$ και διαβάζεται ''συντέμνουσα θ''

perpant · #4

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:3. α) Να λυθεί η εξίσωση $\sigma \tau \epsilon \mu \vartheta = \sigma \tau \epsilon \mu 2\vartheta + \sigma \tau \epsilon \mu 3\vartheta .$
ενημερωτικά (μόλις το είδα κι εγώ στο ίντερνετ, δεν το είχα ξαναπετύχει)

$\displaystyle{ \tau \epsilon \mu \vartheta =\frac{1}{\sigma \upsilon \nu \theta }}$ και διαβάζεται ''τέμνουσα θ''

$\displaystyle{\sigma \tau \epsilon \mu \vartheta =\frac{1}{\eta \mu \theta }}$ και διαβάζεται ''συντέμνουσα θ''

Πληροφοριακά, διεθνώς η τέμνουσα είναι sec

και η συντέμνουσα csc

orestisgotsis · #5

ΠΕΡΙΤΤΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1975 ΑΛΓΕΒΡΑ-ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση