ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να βρείτε για ποια τόξα $\displaystyle{x}$ αληθεύει η ανισότητα $\displaystyle{\varepsilon \phi x < \alpha}$ , όπου $\displaystyle{\alpha}$ πραγματικός .

2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ( $\displaystyle{ \widehat{A}}$ ορθή ) , να δειχθεί ότι αληθεύει η ανισότητα $\displaystyle{\tau \sigma \upsilon \nu (B -\Gamma) \le \upsilon_{\alpha} (1 +\sqrt2 )}$ ,
όπου $\displaystyle{\tau}$ η ημιπερίμετρος του και $\displaystyle{\upsilon_{\alpha}}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα .

3. Να δείξετε οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{ k = \alpha^3\sigma \upsilon \nu (B -\Gamma) +\beta^3\sigma \upsilon \nu (\Gamma-A)+\gamma^3\sigma \upsilon \nu (A-B ) =12ER}$
όπου $\displaystyle{E}$ το εμβαδόν του τριγώνου και $\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

edit
Διόρθωση τυπογραφικού

hlkampel · #2

parmenides51 έγραψε:3. Να δείξετε οτι σε κάθε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ισχύει $\displaystyle{ k = \alpha^3\sigma \upsilon \nu (B -\Gamma) +\beta^3\sigma \upsilon \nu (\Gamma-A)+\gamma^3\sigma \upsilon \nu (A-B ) =12ER}$
όπου $\displaystyle{E}$ το εμβαδόν του τριγώνου και $\displaystyle{R}$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου

Από ν. ημιτόνων έχουμε: $\displaystyle{\alpha = 2R\eta \mu {\rm A},\quad \beta = 2R\eta \mu {\rm B}}$ και $\displaystyle{\gamma = 2R\eta \mu \Gamma }$ .

$\displaystyle{{\alpha ^3}\sigma \upsilon \nu ({\rm B} - \Gamma ) = 8{R^3}\eta {\mu ^3}{\rm A}\sigma \upsilon \nu ({\rm B} - \Gamma ) = 8{R^3}\eta {\mu ^2}{\rm A}\eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu ({\rm B} - \Gamma ) = }$

$\displaystyle{8{R^3}\eta {\mu ^2}{\rm A}\eta \mu \left( {{\rm B} + \Gamma } \right)\sigma \upsilon \nu ({\rm B} - \Gamma ) = }$

$\displaystyle{4{R^3}\eta {\mu ^2}{\rm A}\left( {\eta \mu 2{\rm B} + \eta \mu 2\Gamma } \right) = }$

$\displaystyle{4{R^3}\eta {\mu ^2}{\rm A}\left( {2\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu {\rm B} + 2\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu \Gamma } \right) = }$

$\displaystyle{8{R^3}\left( {\eta {\mu ^2}{\rm A}\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu {\rm B} + \eta {\mu ^2}{\rm A}\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu \Gamma } \right)}$

Έτσι (κυκλικά) η παράσταση

γίνεται:

$\displaystyle{k = 8{R^3}\left( {\eta {\mu ^2}{\rm A}\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu {\rm B} + \eta {\mu ^2}{\rm A}\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu \Gamma + \eta {\mu ^2}{\rm B}\eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm A} + \eta {\mu ^2}{\rm B}\eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu \Gamma + \eta {\mu ^2}\Gamma \eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm A} + \eta {\mu ^2}\Gamma \eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu {\rm B}} \right) = }$

$\displaystyle{8{R^3}\eta \mu {\rm A}\eta \mu {\rm B}\left( {\eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu {\rm B} + \eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu {\rm A}} \right) + 8{R^3}\eta \mu {\rm A}\eta \mu \Gamma \left( {\eta \mu {\rm A}\sigma \upsilon \nu \Gamma + \eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}} \right) + 8{R^3}\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma \left( {\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu \Gamma + \eta \mu \Gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}} \right) = }$

$\displaystyle{8{R^3}\eta \mu {\rm A}\eta \mu {\rm B}\eta \mu ({\rm A} + {\rm B}) + 8{R^3}\eta \mu {\rm A}\eta \mu \Gamma \eta \mu ({\rm A} + \Gamma ) + 8{R^3}\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma \eta \mu ({\rm B} + \Gamma ) = }$

$\displaystyle{8{R^3}\eta \mu {\rm A}\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma + 8{R^3}\eta \mu {\rm A}\eta \mu \Gamma \eta \mu {\rm B} + 8{R^3}\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma \eta \mu {\rm A} = }$

$\displaystyle{3\left( {2R\eta \mu A} \right)\left( {2R\eta \mu {\rm B}} \right)\left( {2R\eta \mu \Gamma } \right)\mathop = \limits^{\nu .\;\eta \mu \iota \tau \dot o\nu \omega \nu } 3\alpha \beta \gamma \mathop = \limits^* 12ER}$

(*) Είναι $\displaystyle E = \frac{{\alpha \beta \gamma }}{{4R}} \Leftrightarrow \alpha \beta \gamma = 4ER$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

kostas_zervos · #4

parmenides51 έγραψε: 2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ ( $\displaystyle{ \widehat{A}}$ ορθή ) , να δειχθεί ότι αληθεύει η ανισότητα $\displaystyle{\tau \sigma \upsilon \nu (B -\Gamma) \le \upsilon_{\alpha} (1 +\sqrt2 )}$ ,
όπου $\displaystyle{\tau}$ η ημιπερίμετρος του και $\displaystyle{\upsilon_{\alpha}}$ το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα .

Είναι $\sigma \upsilon \nu (B -\Gamma)=\sigma \upsilon \nu (90^o-\Gamma -\Gamma)=\eta\mu 2\Gamma=2\eta\mu\Gamma\sigma\upsilon\nu\Gamma=\dfrac{2\beta\gamma}{\alpha^2}$ .

και $\beta\gamma=\alpha\upsilon_{\alpha} \iff \upsilon_{\alpha}=\dfrac{\beta\gamma}{\alpha}$ .

Άρα $\displaystyle{\tau \sigma \upsilon \nu (B -\Gamma) \le \upsilon_{\alpha} (1 +\sqrt2 )}\iff$

$\iff\dfrac{\alpha+\beta+\gamma}{2}\dfrac{2\beta\gamma}{\alpha^2}\le \dfrac{\beta\gamma}{\alpha}(1 +\sqrt2 )\iff$

$\iff \alpha+\beta+\gamma\leq \alpha(1 +\sqrt{2} )\iff$

$\iff \alpha+\beta+\gamma\leq \alpha +\alpha\sqrt{2} \iff$

$\iff \beta+\gamma\leq \alpha\sqrt{2} \iff$

$\iff (\beta+\gamma)^2\leq 2\alpha^2 \iff$

$\iff \beta^2+2\beta\gamma+\gamma^2\leq 2\beta^2+2\gamma^2 \iff$

$\iff (\beta-\gamma)^2\geq 0$ που ισχύει.

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1970 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση