ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. α) Αν το τετράγωνο ενός αριθμού διαιρείται με το $\displaystyle{2}$ , τότε και ο αριθμός αυτός διαιρείται με το $\displaystyle{2}$ .
β) Δεν είναι δυνατόν το άθροισμα και το γινόμενον δύο ανάγωγων κλασμάτων να είναι συγχρόνως ακέραιοι αριθμοί .

2. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x) = (3 -\alpha)x^2 + 2\alpha x + \alpha , \alpha \ne 3 , \alpha \in \mathbb{R}}$
α) Να υπολογισθεί το $\displaystyle{\alpha}$ ώστε $\displaystyle{P(x) > 0}$ για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .
β) Να βρείτε το $\displaystyle{\alpha}$ ώστε $\displaystyle{x_1 = 2x_2}$ όπου $\displaystyle{x_1 ,x_2}$ οι ρίζες του τριωνύμου .

3. Αν ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\mu,\nu}$ και ο γεωμετρικός μέσος των $\displaystyle{\alpha,\beta}$ με $\displaystyle{\color{red}\alpha\ne \beta}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\frac{\mu \alpha +\nu \beta }{\nu +\mu }}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }=\sqrt{ {\color{red}\frac{\beta }{\alpha}}}}$ .

Σημείωση
Το 2ο και 3ο θέμα ήταν ίδιο στις εξετάσεις του Φυσικομαθηματικού και του Γεωπονοδασολογικού Κύκλου το 1973. Δείτε κι εδώ

edit's
αντιστροφή κλάσματος στο 3ο θέμα, σωστή η Φωτεινή
προσθήκη περιορισμού στο 3o που σωστά επισήμανε ο Θανάσης (socrates), μιας και χρειάζεται για την λύση

#2

parmenides51 έγραψε:3. Αν ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\mu,\nu}$ και ο γεωμετρικός μέσος των $\displaystyle{\alpha,\beta}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\frac{\mu \alpha +\nu \beta }{\nu +\mu }}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }=\sqrt{ {\color{red}\frac{\beta }{\alpha}}}}$ .

Θέλουμε και $a\ne b,$ π.χ. για a=b=1, m=0.5, n=1.5

δεν ισχύει...

parmenides51 · #3

έτσι δόθηκε πάντως και στις εφημερίδες τότε (αν και χρειάζεται για την λύση το $\displaystyle{a\ne b}$ )

(συχνά ξέχναγαν περιορισμούς στις εκφωνήσεις όπως φαίνεται)

gavrilos · #4

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x) = (3 -\alpha)x^2 + 2\alpha x + \alpha , \alpha \ne 3 , \alpha \in \mathbb{R}}$
α) Να υπολογισθεί το $\displaystyle{\alpha}$ ώστε $\displaystyle{P(x) > 0}$ για κάθε πραγματική τιμή του $\displaystyle{x}$ .
β) Να βρείτε το $\displaystyle{\alpha}$ ώστε $\displaystyle{x_1 = 2x_2}$ όπου $\displaystyle{x_1 ,x_2}$ οι ρίζες του τριωνύμου .

α) $\displaystyle{\Delta =4a^{2}-4a(3-a)=4a^{2}-12a+4a^{2}=4a(a-3)}$ .Θα πρέπει $\displaystyle{\Delta <0}$ άρα $\displaystyle{a\in(0,3)}$ .

β)Θα είναι $\displaystyle{(3-a)x_{2}^{2}+2ax_{2}+a=(3-a)x_{1}^{2}+2ax_{1}+a \Leftrightarrow (3-a)x_{2}^{2}+2ax_{2}+a=(3-a)4x_{2}^{2}+4ax_{2}+a=0 \Leftrightarrow 3(3-a)x_{2}^{2}+2ax_{2}=0}$ .

Η μία ρίζα της τελευταίας σχέσης είναι $\displaystyle{0}$ και η άλλη $\displaystyle{\frac{-2a}{3-a}}$ άρα $\displaystyle{a=0}$ .

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:3. Αν ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\mu,\nu}$ και ο γεωμετρικός μέσος των $\displaystyle{\alpha,\beta}$ με $\displaystyle{\color{red}\alpha\ne \beta}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\frac{\mu \alpha +\nu \beta }{\nu +\mu }}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }=\sqrt{ {\color{red}\frac{\beta }{\alpha}}}}$ .

πρέπει $\displaystyle{\nu \ne 0, \mu+\nu\ne 0, \frac{\alpha}{\beta}> 0}$

ισχύει οτι $\displaystyle{\frac{\mu \alpha +\nu \beta }{\nu +\mu }=\frac{\mu+\nu}{2}=\sqrt{\alpha \beta}}$

έστω $\displaystyle{\alpha=\frac{x}{\lambda} \,, \beta=x\lambda }$ με $\displaystyle{x>0 \, ,\lambda \in \mathbb{R}^*}$

τότε $\displaystyle{\frac{\mu \displaystyle\frac{x}{\lambda} +\nu x\lambda}{\nu +\mu }=\frac{\mu+\nu}{2}=\sqrt{\frac{x}{\lambda} x\lambda}}$

τότε $\displaystyle{\frac{x(\mu+\nu \lambda^2)}{\lambda(\mu+\nu)} }=\frac{\mu+\nu}{2}=\sqrt{x^2}}$

αφού $\displaystyle{x>0\Rightarrow \sqrt{x^2}=|x|=x}$ έχουμε $\displaystyle{\frac{x(\mu+\nu \lambda^2)}{\lambda(\mu+\nu)} }=\frac{\mu+\nu}{2}=x}}$

οπότε $\displaystyle{\frac{x(\mu+\nu \lambda^2)}{\lambda(\mu+\nu)} }=x \Leftrightarrow \mu+\nu \lambda^2=\lambda\mu+\lambda\nu \Leftrightarrow \nu \lambda^2-\lambda\nu+ \mu-\lambda\mu=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \nu \lambda(\lambda-1)+ \mu(1-\lambda)=0 \Leftrightarrow (\lambda-1) (\nu \lambda-\mu)=0 \Leftrightarrow \lambda=1}$ ή $\displaystyle{\nu \lambda=\mu}$

Αν $\displaystyle{\lambda=1}$ τότε $\displaystyle{\alpha=x=\beta}$ , άτοπο διότι $\displaystyle{\alpha\ne \beta}$

Άρα $\displaystyle{\nu \lambda=\mu \Leftrightarrow \frac{\mu}{\nu}=\lambda=\pm|\lambda|=\pm\sqrt{\lambda^2}}=\pm\sqrt{\frac{\lambda^2x}{x}}}=\pm\sqrt{\frac{\lambda x}{\displaystyle\frac{x}{\lambda}}}=\pm\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}}$

$\displaystyle{\alpha,\beta >0 \Rightarrow \lambda>0 \Rightarrow \frac{\mu}{\nu}= \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}}$

$\displaystyle{\alpha,\beta <0 \Rightarrow \lambda<0 \Rightarrow \frac{\mu}{\nu} =-\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}}$

Υ.Γ. Δεν χρησιμοποίησα καθόλου στην λύση μου οτι ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\mu,\nu}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\frac{\mu \alpha +\nu \beta }{\nu +\mu }}$
και δεν μπορώ να απορρίψω το ενδεχόμενο να υπάρχει μείον στο ζητούμενο.
Στην λύση της εφημερίδας της εποχής, που διαφέρει από την παραπάνω , κρυφά χρησιμοποιεί οτι $\displaystyle{\alpha,\beta>0}$
Οπότε για να είναι σωστή η άσκηση είτε πρέπει να συμπληρωθεί στην εκφώνηση το $\displaystyle{\alpha,\beta>0}$ ή να ζητείται το $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }=\pm \sqrt{ \frac{\beta }{\alpha}}}$

#6

parmenides51 έγραψε:3. Αν ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\mu,\nu}$ και ο γεωμετρικός μέσος των $\displaystyle{\alpha,\beta}$ με $\displaystyle{\color{red}\alpha\ne \beta}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\frac{\mu \alpha +\nu \beta }{\nu +\mu }}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }=\sqrt{ {\color{red}\frac{\beta }{\alpha}}}}$ .

Λίγο διαφορετικά:

Έχουμε: $\displaystyle{\frac{\mu a +\nu \beta}{\mu +\nu}=\sqrt{a\beta}\Leftrightarrow \frac{\frac{\mu}{\nu}a +\beta}{\frac{\mu}{\nu}+1}=\sqrt{a\beta}}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{\frac{\mu}{\nu}=x}$ , οπότε έχουμε: $\displaystyle{\frac{xa+\beta}{x+1}=\sqrt{a\beta}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(a-\sqrt{a\beta})x=\sqrt{a\beta}-\beta}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

Αν ήταν $\displaystyle{a-\sqrt{a\beta}=0\Leftrightarrow a=\sqrt{a\beta}}$ και αφού είναι $\displaystyle{a\geq 0}$ (προφανώς), θα έχουμε ισοδύναμα ότι:

$\displaystyle{a^2 =a\beta \Leftrightarrow a(a-\beta )=0}$ και με δεδομένο ότι $\displaystyle{a\neq \beta}$ , θα πρέπει $\displaystyle{a=0}$ . Τότε η (1)

γράφεται: $\displaystyle{0=-\beta \Leftrightarrow \beta =0}$ , που είναι άτοπο, αφού $\displaystyle{a\neq \beta}$

Από τα παραπάνω, η (ΣΧΕΣΗ 1) γράφεται: $\displaystyle{x=\frac{\sqrt{a\beta}-\beta}{a-\sqrt{a\beta}}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{x=\frac{(\sqrt{a\beta}-\beta )(a-\sqrt{a\beta})}{a^2 -a\beta}=\frac{(a-\beta )\sqrt{a\beta}}{a(a-\beta )}=\frac{\sqrt{a\beta}}{a}}$

Αν λοιπόν $\displaystyle{a>0}$ , τότε $\displaystyle{x=\frac{\sqrt{a\beta}}{\sqrt{a^2}}=\sqrt{\frac{\beta}{a}}}$

Αν $\displaystyle{a<0}$ , τότε $\displaystyle{x=-\frac{\sqrt{a\beta}}{\sqrt{a^2}}=-\sqrt{\frac{\beta}{a}}}$

ΣΗΜ: Θα συμφωνήσω με τον Parmenides, ότι έπρεπε να δινόταν ότι οι αριθμοί $\displaystyle{a , \beta}$ είναι θετικοί, αλλιώς προκύπτουν δύο τιμές για τον λόγο $\displaystyle{\frac{\mu}{\nu}}$

parmenides51 · #7

σχετικά με το 3ο θέμα

parmenides51 έγραψε:3. Αν ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\mu,\nu}$ και ο γεωμετρικός μέσος των $\displaystyle{\alpha,\beta}$ με $\displaystyle{\color{red}\alpha\ne \beta}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\frac{\mu \alpha +\nu \beta }{\nu +\mu }}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }=\sqrt{ {\color{red}\frac{\beta }{\alpha}}}}$ .

η επίσημη διατύπωση ήταν

3. Αν ο αριθμητικός μέσος των $\displaystyle{\mu,\nu}$ και ο γεωμετρικός μέσος των $\displaystyle{\alpha,\beta}$ είναι ίσος με $\displaystyle{\frac{\mu \alpha +\nu \beta }{\nu +\mu }}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }=\sqrt{ \frac{\beta }{\alpha}}}$ .

η σωστή διατύπωση σύμφωνα με τον Ευκλείδη (# 03 1973 σελ. 15 ) έπρεπε να ήταν

3. Εαν $\displaystyle{\alpha,\beta,\mu,\nu \in \mathbb{R}^+}$ , $\displaystyle{\alpha\mu\nu (\mu^2-\nu^2 )(\alpha-\beta)\ne 0}$ και $\displaystyle{\frac{\mu+\nu}{2}=\sqrt{\alpha\beta}=\frac{\mu \alpha +\nu \beta }{\nu +\mu }}$ , να δείξετε ότι $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu }=\pm\sqrt{ \frac{\beta }{\alpha}}}$ .

δείτε το σχετικό άρθρο εδώ

#8

παρατήρηση στο 2ο
επειδή δεν υπάρχει διάκριση στις ρίζες αρκεί $\displaystyle{(x_1-2x_2)(x_2-2x_1)=0}$ ή $\displaystyle{x_1x_2+2(x_1+x_2)^2=0}$
αρα $\displaystyle{P+2S^2=0}$ οπότε $\displaystyle{a=...}$

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΦΥΣΙΚΟΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 1973 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση