Ανισότητα με μιγαδικούς και μέτρα !

#1

Αν οι μιγαδικοί a,b

έχουν μέτρο

, να αποδειχθεί ότι :

$|a+1|+|b+1|+|ab+1|\geq 2$

Μπάμπης

(Έχω μια λύση, αλλά δεν με ενθουσιάζει !Μέχρι να δω τις σκέψεις σας , θα την προσπαθήσω και με άλλο τρόπο.Κάτι μου έρχεται στο νου !)

dimitris.ligonis · #2

Kαλησπέρα κ.Μπάμπη!

|a+1|+|b+1|+|ab+1|

$\overset {|a|=1}{=} |a+1|+|ab+a|+|ab+1|=|a+1|+|-ab-a|+|ab+1|$ $\overset{\tau \rho \iota \gamma \omega \nu \iota \kappa \eta} {\geq}}$ |a-a+ab-ab+2|=2

#3

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:(Έχω μια λύση, αλλά δεν με ενθουσιάζει !Μέχρι να δω τις σκέψεις σας , θα την προσπαθήσω και με άλλο τρόπο.Κάτι μου έρχεται στο νου !)

Μπάμπη ας προσπαθήσω να μαντέψω (επί τροχάδην και ύστερα από την βέλτιστη λύση του Δημήτρη):

Θέτοντας $a=cos\theta + isin\theta$ , $b=cos\phi +isin\phi$ , ανάγουμε την αρχική ανισότητα, μέσω των $|z+1|=\sqrt{|z|^2+2Re(z)+1}$ και $cos2\gamma =2cos^2\gamma -1$ , στην ενδιαφέρουσα

$|cos(\displaystyle\frac{\theta }{2})|+|cos(\displaystyle\frac{\phi }{2})|+|cos(\displaystyle\frac{\theta +\phi }{2})|\geq 1,$

η οποία, θέτοντας $cos(\displaystyle\frac{\theta }{2})=x$ , $cos(\displaystyle\frac{\phi }{2})=y$ , ανάγεται στην

$|x|+|y|+|xy-\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}|\geq |x|+|y|+\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2}-|x|\cdot|y|\geq1.$

[H τελευταία ανισότητα προφανής, ισοδύναμη για $0\leq|x|\leq1$ , $0\leq|y|\leq1$ , προς την $(1+|x|)(1+|y|)\geq1$ .]

Γιώργος Μπαλόγλου

#4

Δημήτρη και Γιώργο, πολύ ωραία !

Η νέα μου σκέψη τη στιγμή που έγραφα την άσκηση ήταν τελικά η εξής(απλή και βασική και απορώ γιατί παιδευόμουνα με άσκοπες κινήσεις) :

$|1+a|+|1+ab|+|1+b| \geq |1+a-1-ab|+|1+b|=$

$=|a||1-b|+|1+b|= |1-b|+|1+b| \geq |1-b+1+b|=2$

Στην ουσία πρόκειται για την ίδια λύση με αυτή του Δημήτρη.

Γιώργο, δυστυχώς σε λίγα χρόνια δεν θα βρίσκεις φοιτητή να γνωρίζει τύπο τριγωνομετρικού μετασχηματισμού ή τριγωνομετρικό αριθμό αθροίσματος , διαφοράς ή πολλαπλασίου τόξου.
Η ανοησία και η ανευθυνότητα σε αυτόν τον τόπο ξεχείλησαν από χρόνια σε όλους τους τομείς, η τριγωνομετρία και η γεωμετρία θα γλύτωναν ;

Μπάμπης

Ανισότητα με μιγαδικούς και μέτρα !

Ανισότητα με μιγαδικούς και μέτρα !

Re: Ανισότητα με μιγαδικούς και μέτρα !

Re: Ανισότητα με μιγαδικούς και μέτρα !

Re: Ανισότητα με μιγαδικούς και μέτρα !

Μέλη σε σύνδεση