Συλλογή Ασκήσεων

orestisgotsis · #221

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #222

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #223

ΠΕΡΙΤΤΑ

sidchris · #224

Άσκηση 132η
Στο παρακάτω σχήμα το $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }$ είναι τετράγωνο. Να βρεθεί η γωνία $\displaystyle{{\rm B}\hat {\rm Z}{\rm E}}$

sidchris · #225

Άσκηση 133η
α)Να βρεθεί το $\displaystyle{\alpha }$ αν $\displaystyle{1 + \frac{{3\alpha - 13}}{2} \ge \frac{{\alpha - 3}}{2} + \frac{{2\alpha - 3}}{7} \ge \alpha - 3}$
β)Αν η ευθεία $\displaystyle{y = \lambda x + \alpha }$ τεμνει τους αξονες στα σημεια $\displaystyle{{\rm A},{\rm B}}$ ετσι ωστε $\displaystyle{({\rm A}{\rm O}{\rm B}) = \frac{{{\alpha ^2}}}{2}}$ να βρεθεί το θετικό $\displaystyle{\lambda }$
γ)Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει η παραπάνω ευθεία με τον άξονα $\displaystyle{\chi \chi '}$

leftgavr · #226

sidchris έγραψε:Ασκηση 41η
Στο παρακάτω σχήμα δινεται ότι το Ε είναι μέσο που .Να βρεθεί το μήκος του $\Delta \Theta$
Αφιερωμένη στον Κυριάκο!!

: Καταγρ.PNG (15.82 KiB) Προβλήθηκε 3113 φορές

Στο παρακάνω σχήμα AB=AE+EB=2AE=8

$A\Gamma^{2}=8^{2}+6^{2}=64+36=100$
$A\Gamma=10$

Στο τρίγωνο $AE\Delta$ ισχύει το Πυθαγώριο θεώρημα: $5^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25$

Άρα το τρίγωνο $AE\Delta$ είναι ορθογώνιο και τα ευθύγραμμα τμήματα $AB,E\Delta$ είναι κάθετα μεταξύ τους.
Αφού το τρίγωνο $BE\Delta$ έχει μία πλευρά ίδια με το τρίγωνο $AE\Delta,EB=4,{\hat{BE\Delta}=90$ τότε και η $B\Delta=A\Delta=5$

Έτσι το τρίγωνο $AB\Delta$ είναι ισόσκελές με ${\hat{AB\Delta}={\hat{AB\Delta}$ .

Η $EB \perp Z\Delta, B\Gamma$ .
Άρα $Z\Delta \parallel B\Gamma$

$I\Delta,MZ,\Gamma\Lambda \perp I\Gamma$ .
$I\Delta \parallel EB$ και $I\Delta=EB$ .
$E(EBI\Delta)= 4 \cdot 3= 12$
$E(B\Gamma Z\Delta)= 4\cdot 6= 24$
$E(I\Gamma L\Delta)=4\cdot 9=36$

Η διαφορά από την αφαίρεση των εμβαδών των σχημάτων $I\Gamma \Lambda \Delta, B\Gamma I\Delta$ είναι

.
Άπο το παρακάτω σχήμα συμπαιρένουμε πως η διαφορά των εμβαδών αυτών είναι ίση με το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $\Gamma\Lambda Z+ BE\Delta$ . Άφου $E(BE\Delta)+E(BI\Delta)=12$ τότε τρίγωνο $BE\Delta=Z\Lambda\Gamma \Rightarrow E\Delta=Z\Lambda$ .

Η $I\Gamma= 6+3=9$ .
$\Delta\Lambda=I\Gamma=9 \Rightarrow EZ=9-6=3$
Άρα το τρίγωνο $BEZ=DEB \Rightarrow ZB=B\Delta=5, ZE=E\Delta$

Άφου το σχήμα $AZB\Delta$ έχει τις τρεις πλευρές του ίσες με

και οι διαγώνιοί του διχοτομούνται μεταξύ τους τότε και η τέταρτή του πλευρά είναι

και το σχήμα είναι ρόμβος.

Στον ρόμβο $AZB\Delta$ υπάρχουν τέσσερα ίσα τρίγωνα.
Το εμβαδό του καθενός ισούτε με:
$3 \cdot 4:2=12:2=6$ . Οπότε το εμβαδό του ρόμβου είναι: $6 \cdot 4=24$ .

Το εμβαδό του ρόμβου μπορούμε επίσης να το βρούμε: $5 \cdot \Delta\Theta \Rightarrow \Delta\Theta=24:5=4,8$

Νίκος Αϊνστάιν · #227

Έχω την εντύπωση ότι μερικές ασκήσεις είναι μεγαλύτερων τάξεων. Για παράδειγμα, η έννοια του τέλειου τετραγώνου δεν διδάσκεται στην β΄ Γυμνασίου.

leftgavr · #228

sidchris έγραψε:Άσκηση 66η
Στο παρακάτω σχήμα να βρεθεί το εμβαδό του ορθογωνίου $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta )}$

Η διάμετρος του ημικυκλίου είναι ίση με AB=5

.
Άρα η ${\hat{AEB}=90$ .
Με Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε πως η EB=3

Οπότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με: $\frac{4 \cdot 3}{2}=6$

Το εμβαδόν του $(AEB)=\frac{5 \cdot B\Gamma}{2}=6$
ενώ το εμβαδόν του $(AB\Gamma\Delta)=5 \cdot B\Gamma=6 \cdot 2=12$

leftgavr · #229

sidchris έγραψε:Άσκηση 72η
Στο διπλανό σχήμα δίνεται ότι $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = 21c{m^2}}$ η $\displaystyle{{\rm B}\Delta = 60mm}$ και η $\displaystyle{AB = 40mm}$ .Να βρεθούν:
α)Το εμβαδό του $\displaystyle{{\rm{A}}{\rm B}\Delta }$
β)Το εμβαδό του $\displaystyle{\Delta {\rm B}\Gamma }$
γ)Η πλευρά $\displaystyle{\Gamma {\rm E}}$

(α) $(AB\Delta)=\displaystile{\frac{60\cdot 40}{2}=\frac{2400}{2}}=1200mm^{2}=12cm^{2}$ .

(β) $(\Delta B\Gamma)=21-12=9cm^{2}$

(γ) $(\Delta B\Gamma)=\displaystile{\frac{60mm^{2}\cdot E\Gamma}{2}}\Rightarrow 9cm^{2}=900mm^{2}=\displaystile{\frac{60mm^{2}\cdot E\Gamma}{2}}$

Άρα $60mm^{2}\cdot E\Gamma=900\cdot 2=1600\Rightarrow E\Gamma=\displaystile{\frac{1600}{60}}=26\displaystile{\frac{2}{3}}mm^{2}$

leftgavr · #230

sidchris έγραψε:Άσκηση 42
Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\Gamma \Delta =5$ και .Αν $\left( AEB\right)=9$ και $\left( A\Gamma \Delta \right)=15$ τότε να βρεθεί το μήκος του $\Delta E$
Αφιερωμένη στη Φαιη!!

: Καταγραφή.PNG (11.15 KiB) Προβλήθηκε 2953 φορές

$AZ\perp B\Gamma$ άρα είναι το ύψος του τριγώνου $A\Delta\Gamma$ και ABE

.

$(AE\Gamma)=\displaystile{\frac{AZ\cdot 5}{2}}=15 \Rightarrow AZ\cdot 5=15\cdot 2=30\Rightarrow AZ=30:5=6$ .

$(AB\Delta)=\displaystile{\frac{6 \cdot B\Delta}{2}}=9 \Rightarrow 6 \cdot B\Delta=9 \cdot 2=18 \Rightarrow B\Delta=18:6=3$

Τα τρίγωνα $ABZ,AB\Gamma$ έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες και είναι ορθογώνια.

Άρα θα ισχύει $Z\Gamma^{2}=BZ^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64 \Rightarrow Z\Gamma=BZ=\sqrt{64}=8$ .

$Z\Delta=8-3=5,ZE=8-5=3 \Rightarrow E\Delta=5+3=8$

Γιώργος Απόκης · #231

Συμπλήρωσα τη λύση της άσκησης 3

orestisgotsis · #232

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #233

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #234

ΠΕΡΙΤΤΑ

#235

orestisgotsis έγραψε:
sidchris έγραψε:Άσκηση 90η
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ότι η ακτίνα του κύκλου είναι να βρεθεί το

Το συνημμένο Άσκηση 90.PNG δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{A{{B}^{2}}+B{{\Gamma }^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}=100}$ , δηλαδή όσο το τετράγωνο της διαμέτρου, άρα $\displaystyle{A,\,\,\Gamma }$ αντιδιαμετρικά.

Τότε $\displaystyle{x=\sqrt{{{10}^{2}}-{{4}^{2}}}=\sqrt{84}=2\sqrt{21}}$

Με την παρακίνηση του Ορέστη, επαναφέρω την ένστασή μου για το αν είναι δυνατό να λυθεί η άσκηση με γνώσεις επιπέδου Β΄ Γυμνασίου.

Από την εκφώνηση έχουμε $\displaystyle{A{{B}^{2}}+B{{\Gamma }^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}=100}$ , δηλαδή όσο το τετράγωνο της διαμέτρου, αλλά δεν προκύπτει άμεσα ότι η $A\Gamma$ είναι διάμετρος, γιατί δεν γνωρίζουμε αν ισχύει το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο $AB\Gamma$ .

Αυτό προκύπτει με Ν. Συνημιτόνων ή με απαγωγή σε άτοπο. (Δείτε και το σχετικό σχόλιο στην σελίδα 8 αυτής της συζήτησης).

Είναι, άραγε, δυνατό να αντιμετωπιστεί με απλούστερα εργαλεία;

ΣΧΟΛΙΟ:
Αν και, λόγω δοσμένου σχήματος δεχόμαστε ότι το το

είναι στο εσωτερικό του τόξου $\mathop {BC}\limits^ \cap$ , δείτε στο παρακάτω σχήμα ότι δίχως αυτόν τον περιορισμό, στο ABD

είναι $\displaystyle{A{{B}^{2}}+BD^{2}}={{6}^{2}}+{{8}^{2}}=100}$ , δίχως να είναι αντιδιαμετρικά.

: 24-10-2013 Β Γυμνασίου.jpg (31.34 KiB) Προβλήθηκε 2672 φορές

Κατερινόπουλος Νικόλας · #236

sidchris έγραψε:Ασκηση 13η

Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός $\overline{\alpha \beta \gamma }$ για του οποίου τα ψηφία ισχύει $\sqrt{\alpha -5}+\sqrt{\beta }=\gamma$ και ότι είναι διαφορετικά μεταξύ τους

Καλησπέρα
Είναι:
Επειδή

ψηφίο και $\sqrt{-x}$ αδύνατο, έχω ότι οι δυνατές τιμές του

είναι: 9,8,7,6,5. Αφού $\sqrt{a-5}$ $\in \mathbb{N}$
( $\sqrt{a-5}+ \sqrt {b}= \gamma \in\mathbb{N}$ ) έχω a=5

ή

.
Επειδή $\sqrt {\beta} \in\mathbb{N}$ και $a\neq \beta \neq \gamma$
έχω ότι b=4

ή

. Άρα $\gamma =2$ ή $\gamma=3$ ή $\gamma=7$ ή $\gamma=8$ .

Διακρίνω περιπτώσεις:

$\cdot$ Αν $\gamma=2$ , τότε $\sqrt{a-5}+\sqrt{\beta}=2$ . Άρα $\sqrt{a-5}=0$ και $\sqrt {\beta}=2$ ή $\sqrt {a-5}=1$ και $\sqrt {\beta}=1$ .
Επομένως $\overline{a\beta\gamma}=542$
Ή $\overline{a\beta\gamma }=612$
$\cdot$ Αν $\gamma=3$ , τότε $\sqrt{a-5}+\sqrt{\beta}=3$ . Άρα $\sqrt{a-5}=0$ και $\sqrt {\beta}=3$ ή $\sqrt{a-5}=1$ και $\sqrt{\beta}=2$ .
Επομένως $\overline{a\beta\gamma}=593$ ή $\overline{a\beta\gamma}=643$
$\cdot$ Αν $\gamma=7$ , τότε $\sqrt{a-5}+\sqrt{\beta}=7$ . Άρα $\sqrt{a-5}=4$ και $\sqrt{\beta}=4$ Απορ. γιατί a\neq\beta.
$\cdot$ Αν $\gamma=8$ , τότε $\sqrt{a-5}=4$ και $\sqrt{\beta}=4$
Αδύνατο γιατί $\beta$ ψηφίο

#237

Σωστά.

Μπορούμε να αποφύγουμε την περιπτωσιολογία ως εξής.

Από την $\sqrt{a-5} + \sqrt b \in \mathbb N$ , έπεται ότι $\sqrt{a-5} \in \mathbb N$ και $\sqrt b \in \mathbb N$ . Σημειώνω ότι αυτό θέλει απόδειξη και δεν πρέπει να συγχέεται με το προφανές αντίστροφο. Πάντως χρησιμοποιήθηκε σιωπηρά εδώ:

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Αφού $\sqrt{a-5}$ $\in \mathbb{N}$

Δεν γράφω την απόδειξη ως γνωστή.

Έχουμε τότε a-5

και

τέλεια τετράγωνα, οπότε $a\in \{6, 9\}$ και $b\in \{0,1,4,9\}$ . Τα υπόλοιπα είναι ρουτίνα, εξετάζοντας όλους τους συνδυασμούς (8)

ζευγών

και κρατώντας όσους έχουν με $a\ne b$ . Το $\gamma$ βγαίνει μόνο του από το δοθέν άθροισμα της συνθήκης.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #238

Κατάλαβα κύριε Λάμπρου!

Φιλικά,
Νικόλας

Κατερινόπουλος Νικόλας · #239

sidchris έγραψε:Άσκηση 4η

Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός που τα ψηφία του είναι ανάλογα των αριθμών 1, 2, 3 κατά σειρά και διαιρείται από το 9.

Καλημέρα Χρήστο και καλό Πάσχα!

Αφού τα ψηφία του $\overline{a\beta\gamma}$ είναι ανάλογα των αριθμών 1,2,3

αντίστοιχα και $a, \beta, \gamma$

ψηφία, δεν γίνεται να πολλαπλασιαστεί με το

και πάνω γιατί $3 \cdot 4=12$ , που δεν είναι ψηφίο. Άρα, για να ισχύει

$\overline{a\beta\gamma}$ ,

θα πρέπει ο $\overline{a\beta\gamma}$ να πολλαπλασιαστεί με το

. Επομένως, $\boxed{\overline{a\beta\gamma}=369}$

Κατερινόπουλος Νικόλας · #240

sidchris έγραψε:Ασκηση 5η

Να βρεθεί ο τριψήφιος αριθμός αν ξέρουμε ότι είναι τέλειο τετράγωνο και ότι αν αλλάξουμε το 1ο με το 3ο ψηφίο, η διαφορά τους γίνεται μέγιστη.

Γεια σου Χρήστο και (τώρα) καλή Ανάσταση!

Για να επιτευχθεί η μέγιστη διαφορά, θα πρέπει το ψηφίο των εκατοντάδων να είναι

και το ψηφίο των μονάδων

.

Το μεγαλύτερο τέλειο τετράγωνο που ικανοποιεί αυτή τη σχέση, είναι το $\boxed{\overline{a\beta\gamma}=961}$

Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Re: Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση