Μιγαδικοί 24

mathxl · #1

24. Ας είναι ${z_1},{z_2},{z_3} \in C$ τέτοιοι ώστε $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = R > 0$ . Αποδείξτε ότι: $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \cdot \left| {{z_2} - {z_3}} \right| + \left| {{z_3} - {z_1}} \right| \cdot \left| {{z_1} - {z_2}} \right| + \left| {{z_2} - {z_3}} \right| \cdot \left| {{z_3} - {z_1}} \right| \le 9{R^2}$ .
.

sokratis lyras · #2

mathxl έγραψε:24. Ας είναι ${z_1},{z_2},{z_3} \in C$ τέτοιοι ώστε $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = R > 0$ . Αποδείξτε ότι: $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \cdot \left| {{z_2} - {z_3}} \right| + \left| {{z_3} - {z_1}} \right| \cdot \left| {{z_1} - {z_2}} \right| + \left| {{z_2} - {z_3}} \right| \cdot \left| {{z_3} - {z_1}} \right| \le 9{R^2}$ .
.

Κάπως εξωσχολικά:
Από την $ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2$ μένει να αποδείξουμε ότι $a^2+b^2+c^2\le 9R^2$ όπου a,b,c

είναι οι πλευρές τριγώνου του οποίου ο περιγεγραμμένος κύκλος έχει ακτίνα

, που ισχύει.

dennys · #3

Mετα την παρέμβαση του φίλου

$a^{2}+b^{2}+\gamma^{2}=|z_1-z_2|^{2}+|z_2-z_3|^{2}+|z_1-z_3|^{2} \le |z_1-z_2|^{2}+|z_2-z_3|^{2}+|z_1-z_3|^{2}+|z_1+z_2+z_3|^{2}$

$=3(|z_1|^{2}+|z_2|^{2}+|z_3|^{2})=3(R^{2}+R^{2}+R^{2})=9R^{2}$

οπου η ισότητα $|Z_1-z_2|^{2}+|z_2-z_3|^{2}+|z_1-z_3|^{2}+|z_1+z_2+z_3|^{2}=3(|z_1|^{2}+|z_2|^{2}+|z_3|^{2})$ που έκανα αποδεικνύεται πολύ εύκολα

dennys

mathxl · #4

Διονύσης είσαι ωραίος (Πασχάλης Καμόρα)

. Η ισότητα που αναφέρεις είναι η άσκηση "μιγαδικοί 8". Θα κάνω παραπομπή στην 8 όταν προκύψει η λύση της.

Ευχαριστώ για τις λύσεις σας.

#5

Δείτε και την viewtopic.php?f=60&t=8349&p47538

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μιγαδικοί 24

Μιγαδικοί 24

Re: Μιγαδικοί 24

Re: Μιγαδικοί 24

Re: Μιγαδικοί 24

Re: Μιγαδικοί 24

Μέλη σε σύνδεση